Prawdopodobieństwo wypadku dla posiadaczy polis...

[mucha_bzz]

Towarzystwo ubezpieczeniowe dzieli kierowców ubiegających się o polisę na klasy B1, B2, B3, zależnie od ryzyka wypadku. Według oceny towarzystwa 30% kierowców należy do klasy B1, gdzie ryzyko jest niewielkie, 50% do klasy B2, gdzie ryzyko jest średnie, a pozostali kierowcy należą do klasy B3, z dużym ryzykiem. Prawdopodobieństwo wypadku w ciągu roku wynosi 0,01, 0,03 i 0,1 odpowiednio dla kierowców z klas B1, B2 i B3.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że posiadacz polisy należy do klasy B2, jeśli w ciągu roku nie miał wypadku.
b) Zakładając, że posiadacz polisy nie miał wypadku w ciągu 5 lat, oraz że wypadki w poszczególnych latach są niezależne, obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że należy on do klasy B1, a jakie, że należy do klasy B3.

[mkb]

Niech P(A) będzie prawdopodobieństwem, że kierowca (przypadkowy) nie miał wypadku. Zachodzi:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)}\)
Z drugiej strony zachodzi (Bayes):
\(\displaystyle{ P(B2|A)= \frac{P(B2 \cap A)}{P(A)}= \frac{P(A|B2)P(B2)}{P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)}}\)

Prawdopodobieństwa przynależności do klas: P(B1)=0,3, P(B2)=0,5, P(B3)=0,2.
Bierzemy prawdopodobieństwa, że wypadku nie będzie, więc:
\(\displaystyle{ P(A|B1)=1-0,01=0,99}\)
itd. dla kolejnych klas, wartości wstawiamy do wzoru na P(B2|A).

W (b) postępujemy identycznie, tyle że zmieniają się prawdopodobieństwa jazdy bezwypadkowej przez 5 lat:
\(\displaystyle{ P(A5|B1)=P(A|B1)^5=0,99^5}\)
itd.

[mucha_bzz]

dzięki wielkie za szybką odpowiedź

mam jedno pytanko: gdzie jest uwzględnione prawdopodobieństwo przynależności kierowcy do polis?
wydaje mi się, że zdarzenie- kierowca należy do ...polisy to co innego niż zdarzenie- kierowca z polisy... miał wypadek - czyli powinno być jakieś rozróżnienie w oznaczeniu.
Raz piszesz, że P(A/B1)= 1-0,01= 0,99 - a więc tu P(B1) to prawdopodobieństwo wypadku, a wyżej pisze, że P(B1) to prawdopodobieństwo przynależności...
więc właściwie nie wiem co podstawiac do wzoru...

Będę bardzo wdzięczna za oświecenie

[mkb]

Przynależność, ale nie do polis, tylko do klas. Piszesz, że są 3 klasy ryzyka, B1, B2 i B2, z punktu widzenia populacji kierowców P(B1)=0,3, oznacza prawdopodobieństwo, że przypadkowy kierowca (na razie nie ma mowy o wypadku lub jego braku) należy do klasy B1.
A oznacza zdarzenie "brak wypadku", więc P(A|B1) to prawdopodobieństwo braku wypadku pod warunkiem, że kierowca należy do klasy B1. Czyli jeżeli mamy kierowcę z klasy B1, jest to prawdopodobieństwo, że nie będzie miał wypadku. Jak napisałem akapit wyżej P(B1) nie ma nic wspólnego z wypadkiem.
Rozróżnienie polega na różnych oznaczeniach A to brak wypadku, Bi to przynależność kierowcy do klasy, a prawdopodobieństwa warunkowe (w różnej kolejności) to konkretne związki z wypadkiem.

Jeszcze jedno: piszę P(A|B1), a nie P(A/B1), jest to prawdopodobieństwo warunkowe, nie różnicy.

Co do podstawiania:
(a)
P(A|B1)=1-0,01=0,99
P(B1)=0,3
podobnie dla indeksów 2 i 3, dalej liczysz P(B2|A) ze wzoru.
(b)
Zmienia się prawdopodobieństwo bezwypadkowej jazdy przez cały okres danego kierowcy. Ponieważ będzie cały czas w tej samej klasie ryzyka, a poszczególne lata są niezależne, prawdopodobieństwo braku szkody będzie iloczynem prawdopodobieństw braku szkody w kolejnych latach. Czyli np:
\(\displaystyle{ P(A5|B1)=P(A|B1)^5=0,99^5}\)
Prawdopodobieństwo wypadku kierowcy każdej klasy trzeba przeliczyć wg tego wzoru.
Prawdopodobieństwa przynależności się nie zmienią.
A dalej jak w ostatnim kroku przypadku (a)