z kolejnych stu liczb całkowitych dodatnich wybrano dwie i dodano do siebie. Otrzymano w ten sposób liczbę parzystą. Ile jest takich wyborów?
proszę o rozwiązanie zadania z tłumaczeniem krok po kroku
z 100 liczb wybrano 2 i dodano
z 100 liczb wybrano 2 i dodano
według mnie, to 100
ponieważ jest 50 par parzystych i 50 par nieparzystych w kolejnych stu liczbach. gdy doda sie parzyste to i tak powstanie parzysta i podobnie z nieparzystymi. taka jest moja opinia.
ponieważ jest 50 par parzystych i 50 par nieparzystych w kolejnych stu liczbach. gdy doda sie parzyste to i tak powstanie parzysta i podobnie z nieparzystymi. taka jest moja opinia.
-
daniel285
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 6 wrz 2009, o 16:05
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 111 razy
z 100 liczb wybrano 2 i dodano
w rozwiązaniu jest tak
\(\displaystyle{ {50 \choose 2} + {50 \choose 2}=2450}\)
\(\displaystyle{ {50 \choose 2} + {50 \choose 2}=2450}\)
-
Kapol
- Użytkownik
- Posty: 133
- Rejestracja: 1 gru 2007, o 20:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: TM
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 15 razy
z 100 liczb wybrano 2 i dodano
Trochę zadanie jest źle sprecyzowane, gdyż nie jest powiedziane, czy wybieramy ze zwracaniem, ale z wyniku który napisałeś wynika, że wybieramy 2 RÓŻNE liczby.
Najpierw patrzymy czy coś się zmieni, jeśli zaczniemy od parzystej zamiast nieparzystej:
Zobaczymy to na prostym przykładzie
\(\displaystyle{ \{ 1,2,3,...,100 \}}\) \(\displaystyle{ \{ 2,2,3,...,101 \}}\)
Widzimy że ilość parzystych i nieparzystych w obu przypadkach jest równa i wynosi
par=50
npar=50
więc od jakiej liczby zaczniemy nie wpłynie na wynik.
Teraz patrzymy jakie mogą być przypadki sum:
npar+par=npar
par+par=par
npar+npar=par
Zatem żeby sumą była liczba parzysta to musimy wziąć obydwa składniki parzyste lub obydwa składniki nieparzyste.
Zatem:
Dla składników nieparzystych możemy wybrać 2 dowolne liczby, ze zbioru liczb nieparzystych :
\(\displaystyle{ C _{50} ^{2}}\)
analogicznie dla parzystych:
\(\displaystyle{ C _{50} ^{2}}\)
Skoro możemy wybrać same nieparzyste LUB parzyste, to kombinację sumujemy i wychodzi nam wynik:
\(\displaystyle{ C _{50} ^{2} + C _{50} ^{2}}\)
Czyli tak jak w odpowiedziach.
Jest również drugi sposób na rozwiązanie tego zadania:
Nazywa się przez dopełnienie:
Wówczas od wszystkich kombinacji odejmujemy te które nam nie sprzyjają.
W tym przypadku od wyboru 2 dowolnych elementów ze zbioru 100 liczb będziemy odejmować wybór, takich dwóch liczb, których suma da nam liczbę nieparzystą, tzn.
\(\displaystyle{ C _{100} ^{2} - (C _{50} ^{1} \cdot C _{50} ^{1})=2450}\)
Najpierw patrzymy czy coś się zmieni, jeśli zaczniemy od parzystej zamiast nieparzystej:
Zobaczymy to na prostym przykładzie
\(\displaystyle{ \{ 1,2,3,...,100 \}}\) \(\displaystyle{ \{ 2,2,3,...,101 \}}\)
Widzimy że ilość parzystych i nieparzystych w obu przypadkach jest równa i wynosi
par=50
npar=50
więc od jakiej liczby zaczniemy nie wpłynie na wynik.
Teraz patrzymy jakie mogą być przypadki sum:
npar+par=npar
par+par=par
npar+npar=par
Zatem żeby sumą była liczba parzysta to musimy wziąć obydwa składniki parzyste lub obydwa składniki nieparzyste.
Zatem:
Dla składników nieparzystych możemy wybrać 2 dowolne liczby, ze zbioru liczb nieparzystych :
\(\displaystyle{ C _{50} ^{2}}\)
analogicznie dla parzystych:
\(\displaystyle{ C _{50} ^{2}}\)
Skoro możemy wybrać same nieparzyste LUB parzyste, to kombinację sumujemy i wychodzi nam wynik:
\(\displaystyle{ C _{50} ^{2} + C _{50} ^{2}}\)
Czyli tak jak w odpowiedziach.
Jest również drugi sposób na rozwiązanie tego zadania:
Nazywa się przez dopełnienie:
Wówczas od wszystkich kombinacji odejmujemy te które nam nie sprzyjają.
W tym przypadku od wyboru 2 dowolnych elementów ze zbioru 100 liczb będziemy odejmować wybór, takich dwóch liczb, których suma da nam liczbę nieparzystą, tzn.
\(\displaystyle{ C _{100} ^{2} - (C _{50} ^{1} \cdot C _{50} ^{1})=2450}\)