splot, rozklad normalny

[Pumba]

Znalezc gestosc prawdopodobienstwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X_1+X_2}\), jesli \(\displaystyle{ X_1,X_2}\) sa niezaleznymi zmiennymi losowymi o rozkladach normalnych odpowiednio \(\displaystyle{ N(m_1, \sigma_1)}\), \(\displaystyle{ N(m_2, \sigma_2)}\)

chodzi mi konkretnie o splot
\(\displaystyle{ f_z(z)= \int_{R}^{} \frac{1}{ \sqrt{2\pi \sigma_1} } exp(- \frac{(x-m_1)^2}{2 \sigma_1^2}) \frac{1}{ \sqrt{2\pi \sigma_2} }exp(- \frac{(z-x-m_2)^2}{2 \sigma_2^2}) dx}\)

wydaje mi sie ze poczatek jest ok, ale nie potrafie wyliczyc tej calki, bede bardzo wdzieczna za pomoc

[luka52]

Mniej więcej tak:
Doprowadź wykładnik eksponenty do postaci \(\displaystyle{ - \frac{\text{coś}}{2 \sigma_1^2 \sigma_2^2}}\). To "coś" w liczniku musisz zapisać w formie \(\displaystyle{ - (\sigma_1^2 + \sigma_2^2) (x - \alpha )^2 + \beta}\). Dzięki temu całkę będziesz mogła zapisać jako:

\(\displaystyle{ \frac{e^{ \frac{\beta}{2 \sigma_1^2 \sigma_2^2} }} {\sqrt{4 \pi^2 \sigma_1 \sigma_2}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- \frac{- (\sigma_1^2 + \sigma_2^2) (x - \alpha )^2}{2 \sigma_1^2 \sigma_2^2}} \; \mbox d x}\)

Całka jest równa jakiejś stałej, którą musisz wyznaczyć, no i dalej otrzymasz żądany wynik.
Choć całość zdecydowanie łatwiej rozwiązać korzystając z funkcji charakterystycznych.