Spośród liczb naturalnych od 1 do 1200 losujemy bez zwracania dwie liczby: m i n.
Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, ze liczba \(\displaystyle{ 2(mn) ^{2}+ m^{2}}\) jest podzielna przez 12? Wynik podaj z dokładnością do 0, 01.
Losowanie dwóch liczb, szanse, że wyrażenie będzie podzielne
-
malenstwo31
- Użytkownik
- Posty: 166
- Rejestracja: 15 mar 2010, o 12:33
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: w-w
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
-
Alister
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 10 mar 2010, o 15:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 23 razy
Losowanie dwóch liczb, szanse, że wyrażenie będzie podzielne
Z postaci tego równania wnioskuję że m nie może być liczbą nieparzystą,gdyż wtedy powstałaby suma liczby parzystej i nieparzystej,co daje liczbę nieparzystą,która nie może być podzielna przez 12.
Zatem trzeba rozważyć 6 przypadków : liczba m daje przy dzieleniu przez 12 resztę 0 lub 6,wtedy dla każdego n równanie to jest prawdziwe (oznaczę m jako 12k,gdzie k jest liczbą całkowitą - wtedy równanie \(\displaystyle{ 2 (mn)^{2} + m^{2} = 288(kn)^{2} + 144k^{2} = 12(24(kn)^{2}+12k^{2}}}\)
analogicznie dla reszty 6 oznaczę m jako 6k,wtedy \(\displaystyle{ 2 (mn)^{2} + m^{2} = 72(kn)^{2}+36k^{2}= 3*12(2(kn)^{2}+k^{2})}\)
Przy okazji warto sprowadzić to równanie do postaci \(\displaystyle{ m^{2} (2n^{2}+1)}\)
Jeśli m przy dzieleniu przez 12 daje resztę 2,4,8,10,wtedy n musi dawać przy dzieleniu przez 12 resztę 1 lub resztę 11.
Dla m dającego resztę 2 i n dającego resztę 1 : (oznacze m jako 12k + 2),a n jako (12l + 1),wtedy równanie ma postać \(\displaystyle{ (144k^{2}+4+48k)(2(144l^{2}+1+24l)+1)=4(36k^{2}+1+12k)(288l^{2}+3+48l)=4(36k^{2}+1+6k)3(96l^{2}+1+16l)=12(36k^{2}+1+6k)(96l^{2}+1+16l)}\)
natomiast dla m dającego resztę 2 i n dającego resztę 11 : oznacze m jako 12k + 2,a n jako 12l + 11
wtedy równanie ma postać \(\displaystyle{ (144k^{2}+4+48k)(2(144l^{2}+121+264l)+1)=4(36k^{2}+1+6k)(288l^{2}+243+264l)=4(36k^{2}+1+6k)3(96l^{2}+81+88)=12(36k^{2}+1+6k)(96l^{2}+81+88)}\)
Dla pozostałych reszt można przeprowadzić analogiczny dowód. (We wszystkich dowodach \(\displaystyle{ k \in N \wedge l \in N}\))
Znając już wartości wszystkich przypadków,można obliczyć prawdopodobieństwo. Moc omegi = 1200*1199
Gdy liczba m przy dzieleniu przez 12 daje resztę 0,wtedy \(\displaystyle{ P(A)= \frac{100*1199}{1200*1199}}\)
dla m dającego przy dzieleniu przez 12 resztę 6 prawdopodobieństwo ma taką samą wartość
Natomiast gdy liczba m przy dzieleniu daje resztę 2,4,8 lub 10,wtedy dla każdej z tych reszt prawdopodobieństwo ma postać \(\displaystyle{ P(B)= \frac{100*200}{1200*1199}}\)
Zatem końcowe prawdopodobieństwo ma postać \(\displaystyle{ P(C)= 2*\frac{100*1199}{1200*1199} + 4*\frac{100*200}{1200*1199}= \frac{1}{6} + 4*\frac{100}{7194} = \frac{1199}{7194}+ \frac{400}{7194} = \frac{1599}{7194} \approx 0,22%}\)
Zadanie to nie jest łatwe,więc mogłem popełnić jakiś błąd rozpisując je przy komputerze (mam nadzieję że nie,i mój sposób jest zrozumiały)
Zatem trzeba rozważyć 6 przypadków : liczba m daje przy dzieleniu przez 12 resztę 0 lub 6,wtedy dla każdego n równanie to jest prawdziwe (oznaczę m jako 12k,gdzie k jest liczbą całkowitą - wtedy równanie \(\displaystyle{ 2 (mn)^{2} + m^{2} = 288(kn)^{2} + 144k^{2} = 12(24(kn)^{2}+12k^{2}}}\)
analogicznie dla reszty 6 oznaczę m jako 6k,wtedy \(\displaystyle{ 2 (mn)^{2} + m^{2} = 72(kn)^{2}+36k^{2}= 3*12(2(kn)^{2}+k^{2})}\)
Przy okazji warto sprowadzić to równanie do postaci \(\displaystyle{ m^{2} (2n^{2}+1)}\)
Jeśli m przy dzieleniu przez 12 daje resztę 2,4,8,10,wtedy n musi dawać przy dzieleniu przez 12 resztę 1 lub resztę 11.
Dla m dającego resztę 2 i n dającego resztę 1 : (oznacze m jako 12k + 2),a n jako (12l + 1),wtedy równanie ma postać \(\displaystyle{ (144k^{2}+4+48k)(2(144l^{2}+1+24l)+1)=4(36k^{2}+1+12k)(288l^{2}+3+48l)=4(36k^{2}+1+6k)3(96l^{2}+1+16l)=12(36k^{2}+1+6k)(96l^{2}+1+16l)}\)
natomiast dla m dającego resztę 2 i n dającego resztę 11 : oznacze m jako 12k + 2,a n jako 12l + 11
wtedy równanie ma postać \(\displaystyle{ (144k^{2}+4+48k)(2(144l^{2}+121+264l)+1)=4(36k^{2}+1+6k)(288l^{2}+243+264l)=4(36k^{2}+1+6k)3(96l^{2}+81+88)=12(36k^{2}+1+6k)(96l^{2}+81+88)}\)
Dla pozostałych reszt można przeprowadzić analogiczny dowód. (We wszystkich dowodach \(\displaystyle{ k \in N \wedge l \in N}\))
Znając już wartości wszystkich przypadków,można obliczyć prawdopodobieństwo. Moc omegi = 1200*1199
Gdy liczba m przy dzieleniu przez 12 daje resztę 0,wtedy \(\displaystyle{ P(A)= \frac{100*1199}{1200*1199}}\)
dla m dającego przy dzieleniu przez 12 resztę 6 prawdopodobieństwo ma taką samą wartość
Natomiast gdy liczba m przy dzieleniu daje resztę 2,4,8 lub 10,wtedy dla każdej z tych reszt prawdopodobieństwo ma postać \(\displaystyle{ P(B)= \frac{100*200}{1200*1199}}\)
Zatem końcowe prawdopodobieństwo ma postać \(\displaystyle{ P(C)= 2*\frac{100*1199}{1200*1199} + 4*\frac{100*200}{1200*1199}= \frac{1}{6} + 4*\frac{100}{7194} = \frac{1199}{7194}+ \frac{400}{7194} = \frac{1599}{7194} \approx 0,22%}\)
Zadanie to nie jest łatwe,więc mogłem popełnić jakiś błąd rozpisując je przy komputerze (mam nadzieję że nie,i mój sposób jest zrozumiały)