Własności prawdopodobieństwa

[Mrrudzin]

Mam takie zadania:
1
Zdarzenia A,B,C w tym samym zbiorze \(\displaystyle{ \omega}\) spełniają warunki:
(1)\(\displaystyle{ A \cup B \cup C = \omega}\)
(2)\(\displaystyle{ P(B)=2P(A), P(C)=3P(A)}\)
(3)\(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(B \cap C) = P(C \cap A)}\)

Udowodnij że \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \leq P(A) \leq \frac{1}{4}}\)

2
Wykazać że dla dowolnych zdarzeń A,B \(\displaystyle{ \subset \omega}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ P(A) + P(A' \cap B) = P(B)+P(A \cap B')}\)

3
Niech A,B,C \(\displaystyle{ \subset \omega}\) będą takimi zdarzeniami że \(\displaystyle{ A \cap B \subset C}\).
Udowodnij że P(A)+P(B)-P(C) D[/latex]. Wykazać, że \(\displaystyle{ P(A)+P(B)+P(C)-P(D)<1.}\)

4
Niech \(\displaystyle{ A,B,C,D \subset \omega}\) będą takimi zdarzeniami, że \(\displaystyle{ A \cap B \cap C \subset D}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ P(A)+P(B)+P(C)-P(D) \leq 2.}\)

5
Wykazać że jeżeli zdarzenia A i B w tej samej przestrzeni \(\displaystyle{ \omega}\) wyłaczają się, to
\(\displaystyle{ P(A) < P(B').}\)

[mol_ksiazkowy]

ad 5
\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A)+P(B)- P(A \cap B)}\) zawsze !!
a skoro A i B sie wykluczaja , tj \(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset}\), to \(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A)+P(B)}\), tj:

\(\displaystyle{ P(B')- P(A)=1 - P(B)- P(A)= 1- P(A \cup B) \geq 0}\)