prawdopodobieństwo że nie zajdzie żadne ze zdarzeń ?

[snuppy]

Witam,

mam mały problem z którym nie moge sobie nijak poradzić.. zadanie wydaje się proste jednak jakoś mi nie idzie..

Zdarzenie A i B mają nastepujące prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{3}}\), \(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{1}{8}}\).
Obliczyć prawdopodobieństwo, że nie zajdzie ani jedno ze zdarzeń A i B.

pytanie czy dobrze myślę:
1. Policzyć \(\displaystyle{ P(A \cup B)}\) i potem policzyć odwrotność na zasadzie \(\displaystyle{ P(A') = 1 - P(A)}\) ??
to by oznaczało że:
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) = P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} +\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}}\)

i teraz odwrotność:
\(\displaystyle{ P[(A \cup B)'] = 1 - P(A \cup B) =\frac{1}{3}}\) ??

i cz należy użyć jakoś \(\displaystyle{ P(A|B)}\) ??

[EnsamVarg]

Koniecznie uzyc. Ogolnie nieprawda jest ze \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)P(B)}\)

[snuppy]

ok wydaje mi się że doznałem z rana olśnienia i proszę o sprawdzenie

mamy \(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{1}{8}}\)

wiemy że \(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)
czyli przekształcimy wzór w: \(\displaystyle{ P(A \cap B)= P(A|B)*P(B)}\) co po podstawieniu danych daje nam \(\displaystyle{ \frac{1}{24}}\)

musimy policzyć sumę zajścia wszystkich zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{19}{24}}\)
skoro ma nie zajść żadne ze zdarzeń, bierzemy zdarzenia odwrtotne

\(\displaystyle{ P \frac{} {(P(A) \cup P(B))} = 1- P(A \cup B) = 1 - \frac{19}{24} = \frac{5}{24}}\)

dobrze myślę ?