Jakie jest prawd-stwo , że wybrana żarówka jest dobra ?

[piotrek2008]

Na promocji w hipermarkecie sprzedawane są żarówki trzech producentów: P1, P2, P3, które stanowią odpowiednio 50% , 30% , 20% asortymentu.
Wadliwe żarówki stanowią odpowiednio 2% , 3% , 4% produkcji zakładu.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana żarówka jest dobra?
b) losowo wybrana żarówka jest wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo , że pochodzi ona z trzeciego zakłądu?

[dada]

a) ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite
A-zdarzenie polegające na tym że wybrana żarówka jest dobra

\(\displaystyle{ P(A)=P(A/P1)*P(P1)+P(A/P2)*P(P2)+P(A/P3)*P(P3)=0,98*0,5+0,97*0,3+0,96*0,2=0,973}\)-- 12 marca 2010, 13:31 --b)
skorzystać trzeba ze wzoru Bayesa
\(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{P(A)P(B/A)}{P(B)}}\)
NIech
\(\displaystyle{ P_{3}}\)-zdarzenie polegające na tym że żarówka pochodzi z trzeciego zakładu
\(\displaystyle{ P(P_{3})=20%=0,2}\)
\(\displaystyle{ A'}\)- zdarzenie polegające na tym że żarówka jest wadliwa
\(\displaystyle{ P(A')=1-P(A)=0,027}\)
\(\displaystyle{ A'/P_{3}}\)- jest wadliwa pod warunkiem że pochodzi z P_{3}
\(\displaystyle{ P_{3}/A'}\) - pochodzi z P_{3} pod warunkiem że jest wadliwa
\(\displaystyle{ P(P_{3}/A' )= \frac{P(P_{3})P(A'/P_{3})}{P(A')}}\)
\(\displaystyle{ P(P_{3}/A' )= \frac{0,2*0,04}{0,027}=0,(296) \approx 0,3}\)