Bernoulli a prawdopodobieństwo.
-
kluczyk
- Użytkownik
- Posty: 441
- Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolska
- Podziękował: 77 razy
- Pomógł: 12 razy
Bernoulli a prawdopodobieństwo.
Dane są dwie urny typu \(\displaystyle{ A}\), zawierające po \(\displaystyle{ 3}\) białe i \(\displaystyle{ 3}\) czarne kule każda, trzy urny typu \(\displaystyle{ B}\), zawierające po \(\displaystyle{ 2}\) kule białe i \(\displaystyle{ 4}\) czarne, i jedna urna typu \(\displaystyle{ }\)C, zawierająca \(\displaystyle{ 4}\) kule białe i \(\displaystyle{ 2}\) czarne. Z losowo wybranej urny losujemy jedną kulę i zwracamy ją do tej samej urny. Oblicz prawdopodobieństwo, że wsród trzech wylosowanych kul co najwyżej jedna będzie czarna.
Ostatnio zmieniony 13 mar 2010, o 21:31 przez *Kasia, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nazwiska piszemy wielką literą.
Powód: Nazwiska piszemy wielką literą.
-
blost
- Użytkownik
- Posty: 1994
- Rejestracja: 20 lis 2007, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 52 razy
- Pomógł: 271 razy
Bernoulli a prawdopodobieństwo.
masz schemat bernuliego 3 prob. na poczatku oblciz prawdopodobienstwo wylowania kuli bialej (najlepiej z drzewka)
oznaczmy sukces jako kula czarna
porazka jako kula biala
nastepnie oblicz (korzystajac ze schamatu bernuleigo) prawdopodobietwo ze beda 3 porazki
potem ze bedzie jeden sukces i 2 porazki. dodaj te 2 prawdopodobienstwa
oznaczmy sukces jako kula czarna
porazka jako kula biala
nastepnie oblicz (korzystajac ze schamatu bernuleigo) prawdopodobietwo ze beda 3 porazki
potem ze bedzie jeden sukces i 2 porazki. dodaj te 2 prawdopodobienstwa
-
MrBlacyk
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 5 sty 2014, o 17:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieliczka
Bernoulli a prawdopodobieństwo.
Troszkę odkopuję, ale może komuś rozwiązanie wprost pomoże.
Najpierw obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej. Z pomocą nadchodzi nam prawdopodobieństwo całkowite:
\(\displaystyle{ A}\) - wylosowanie kuli czarnej
\(\displaystyle{ B_{1}}\) - wylosowanie urny A, \(\displaystyle{ P(B_{1})}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) , \(\displaystyle{ P(A/B_{1})}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ B_{2}}\) - wylosowanie urny B, \(\displaystyle{ P(B_{2})}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) , \(\displaystyle{ P(A/B_{2})}\)=\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ B_{3}}\) - wylosowanie urny C, \(\displaystyle{ P(B_{3})}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) , \(\displaystyle{ P(A/B_{3})}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=P(A/B_{1}) \cdot P(B_{1}) + P(A/B_{2}) \cdot P(B_{2}) + P(A/B_{3}) \cdot P(B_{3})}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{5}{9}}\)
Czyli prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\).
Małe objaśnienie: \(\displaystyle{ P(B_{1})}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ponieważ są dwie urny typu A na 6 wszystkich. \(\displaystyle{ \frac{2}{6} = \frac{1}{3}}\). Pozostałe analogiczne.
\(\displaystyle{ P(A/B_{1})}\) - w urnie typu A są 3 czarne kule na 6 wszystkich a więc prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}}\). Pozostałe analogicznie.
Teraz przyszedł czas na schemat Bernoulliego:
Pojedyncza próba Bernoulliego: wylosowanie kuli
n=\(\displaystyle{ 3}\)
sukces: wylosowanie kuli czarnej
porażka: wylosowanie kuli białej
k=\(\displaystyle{ 0 ; 1}\)
p=\(\displaystyle{ \frac{5}{9}}\)
q=\(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\)
\(\displaystyle{ S_{n}(k)= {n \choose k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ S_{3}(0;1)= {3 \choose 0} \cdot (\frac{5}{9})^{0} \cdot (\frac{4}{9})^{3} + {3 \choose 1} \cdot (\frac{5}{9})^{1} \cdot (\frac{4}{9})^{2}}\)
\(\displaystyle{ S_{3}(0;1)= \frac{64}{729} + \frac{240}{729}}\)
Prawdopodobieństwo, że wśród trzech wylosowanych kul co najwyżej jedna będzie czarna wynosi \(\displaystyle{ \frac{304}{729}}\)
Najpierw obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej. Z pomocą nadchodzi nam prawdopodobieństwo całkowite:
\(\displaystyle{ A}\) - wylosowanie kuli czarnej
\(\displaystyle{ B_{1}}\) - wylosowanie urny A, \(\displaystyle{ P(B_{1})}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) , \(\displaystyle{ P(A/B_{1})}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ B_{2}}\) - wylosowanie urny B, \(\displaystyle{ P(B_{2})}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) , \(\displaystyle{ P(A/B_{2})}\)=\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ B_{3}}\) - wylosowanie urny C, \(\displaystyle{ P(B_{3})}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) , \(\displaystyle{ P(A/B_{3})}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=P(A/B_{1}) \cdot P(B_{1}) + P(A/B_{2}) \cdot P(B_{2}) + P(A/B_{3}) \cdot P(B_{3})}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{5}{9}}\)
Czyli prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\).
Małe objaśnienie: \(\displaystyle{ P(B_{1})}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ponieważ są dwie urny typu A na 6 wszystkich. \(\displaystyle{ \frac{2}{6} = \frac{1}{3}}\). Pozostałe analogiczne.
\(\displaystyle{ P(A/B_{1})}\) - w urnie typu A są 3 czarne kule na 6 wszystkich a więc prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}}\). Pozostałe analogicznie.
Teraz przyszedł czas na schemat Bernoulliego:
Pojedyncza próba Bernoulliego: wylosowanie kuli
n=\(\displaystyle{ 3}\)
sukces: wylosowanie kuli czarnej
porażka: wylosowanie kuli białej
k=\(\displaystyle{ 0 ; 1}\)
p=\(\displaystyle{ \frac{5}{9}}\)
q=\(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\)
\(\displaystyle{ S_{n}(k)= {n \choose k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ S_{3}(0;1)= {3 \choose 0} \cdot (\frac{5}{9})^{0} \cdot (\frac{4}{9})^{3} + {3 \choose 1} \cdot (\frac{5}{9})^{1} \cdot (\frac{4}{9})^{2}}\)
\(\displaystyle{ S_{3}(0;1)= \frac{64}{729} + \frac{240}{729}}\)
Prawdopodobieństwo, że wśród trzech wylosowanych kul co najwyżej jedna będzie czarna wynosi \(\displaystyle{ \frac{304}{729}}\)