zmienne losowe o rozkladach bernoulliego

[Pumba]

Zmienne losowe X i Y sa niezaleznymi zmiennymi losowymi o rozkladach Bernoulliego: \(\displaystyle{ X \sim B(n,p)}\), \(\displaystyle{ Y \sim B(m,p)}\). Wyznaczyc rozklad sumy X+Y

[bstq]

\(\displaystyle{ P\left(X+Y=k\right)=\sum_{l=0}^{\infty}P\left(X+Y=k,Y=l\right)=\sum_{l=0}^{\infty}P\left(X+l=k,Y=l\right)=\sum_{l=0}^{\infty}P\left(X=k-l,Y=l\right)=\sum_{l=0}^{\infty}P\left(X=k-l\right)P\left(Y=l\right)==\sum_{l=0}^{\infty}\binom{n}{k-l}p^{k-l}\left(1-p\right)^{n-(k-l)}\binom{m}{l}p^{l}\left(1-p\right)^{m-l}=\sum_{l=0}^{\infty}\binom{n}{k-l}\binom{m}{l}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k+l+m-l}=p^{k}\left(1-p\right)^{n-k+m}\sum_{l=0}^{\infty}\binom{n}{k-l}\binom{m}{l}=p^{k}\left(1-p\right)^{m+n-k}\cdot\sum_{l=0}^{\infty}\binom{n}{k-l}\binom{m}{l}==\text{skoro masz }p^{k}\left(1-p\right)^{(m+n)-k}\text{ to ta suma rowna sie }=p^{k}\left(1-p\right)^{m+n-k}\cdot\binom{m+n}{k}\Rightarrow X+Y\sim b(m+n,p)}\)
można prościej - jak znasz funkcje charakterystyczna, albo funkcje generujaca momenty
tutaj inne informacje:
80165.htm

[Pumba]

bardzo dziekuje, mam jeszcze dwa pytania co do tego, czy zamiast \(\displaystyle{ \sum_{l=0}^\infty}\) nie powinno byc \(\displaystyle{ \sum_{l=0}^k}\) ? bo l chyba nie bedzie do nieskonczonosci tylko co najwyzej do k? i jesli tak to, to chyba cos zmieni sie w tych przejsciach?
Drugie pytanie to skad wzielo sie ostatnie przejscie:
\(\displaystyle{ p^{k}\left(1-p\right)^{m+n-k}\cdot\sum_{l=0}^{\infty}\binom{n}{k-l}\binom{m}{l}=p^{k}\left(1-p\right)^{m+n-k}\cdot\binom{m+n}{k}}\) bo nie bardzo rozumiem