Prawdopodobieństwo warunkowe - zdarzenia A i B.

[achillles]

Treść zadania:

Przypuśćmy, że pewien eksperyment prowadzi do rozpatrywania zdarzeń A i B takich, że P(A) = 0.6 i P(dopełnienieB) = 0.2. Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le P \left( A|B \right) \le \frac{3}{4}}\)


Rozwiązanie:

Zapisałem więc definicję prawd. warunkowego.
\(\displaystyle{ P \left( A|B \right) = \frac{P \left( A \cap B \right) }{P \left( B \right) }}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le \frac{P \left( A \cap B \right) }{P \left( B \right) } \le \frac{3}{4}}\)
pomnożyłem to stronami przez mianownik, czyli P(B) - znam wartość i znak , więc mogę to zrobić.
Otrzymuję :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot P \left( B \right) \le P \left( A \cap B \right) \le \frac{3}{4} \cdot P \left( B \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 0.8 \le P \left( A \cap B \right) \le \frac{3}{4} \cdot 0.8}\)
\(\displaystyle{ 0.4 \le P \left( A \cap B \right) \le 0.6}\)

Wyznaczyłem dzięki temu przedział w którym zawiera się \(\displaystyle{ P \left( A \cap B \right)}\)
teraz krańce przedziału podstawiłem do wzoru na prawdopodob. warunkowe.

\(\displaystyle{ \min P \left( A|B \right) = \frac{0.4}{0.8} = 0.5}\)
\(\displaystyle{ \max P \left( A|B \right) = \frac{0.6}{0.8} = 0.75}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le P \left( A|B \right) \le \frac{3}{4}}\)

c.n.d

czy coś tutaj jest niejasne lub sprzeczne ze znanymi nam prawami ?

[Qń]

Rozwiązanie jest błędne, ponieważ przed udowodnieniem tezy założyłeś, że jest prawdziwa.
Nierówności \(\displaystyle{ 0.4 \le P(A \cap B) \le 0.6}\) masz dopiero dowieść, nie możesz z niej korzystać.

Q.

[rafalpg]

Wiemy,ze wartosci funkcji P zawarte sa w przedziale [0,1]
\(\displaystyle{ 0 \le P(A \cup B) \le 1\\
0 \le P(A)+P(B)-P(A \cap B) \le 1\\
0 \le \frac {P(A)+P(B)-P(A \cap B)} {P(B)} \le \frac {1}{P(B)}\\
0 \le \frac{P(A)}{P(B)}+1-\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\le \frac {1}{P(B)}\\
zajmiemy \ sie \ teraz \ prawa \ nierownoscia\\
\frac{P(A)}{P(B)}+1-\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\le \frac {1}{P(B)}\\
\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \ge \frac{0.6}{0.8}+1-\frac{10}{8}\\
\ wiec\\
\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \ge \frac{1}{2}\\
\Rightarrow P(A \backslash B) \in [\frac{1}{2},1]\\
teraz \ lewa \ nierownosc\\
\frac {P(A \cap B)}{P(B)} \le \frac {P(A)}{P(B)}+1-1\\
\frac {P(A \cap B)}{P(B)} \le\frac {3}{4}\\
wiec\\
\frac{1}{2} \le P(A \backslash B) \le \frac{3}{4}}\)
nie jestem pewien co do drugiej nierownosci

[achillles]

To można szybciej:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \le \frac{3}{4}}\)
część wspólną rozpisać jako\(\displaystyle{ P(A)+P(B)-P(A \cup B)}\)
później wymnożyć przez mianownik. I postawić P(A) i P(B) które mamy w treści zadania.

i zapisać, że suma jest najmniejsza jeśli A zawiera się w B
a największa jeśli oba zbiory wyczerpują omegę.

Równie dobrze mogłem napisać w mojej poprzedniej wersji, (wypadło napisać) , co się dzieje z częścią wspólną
jeśli A zawiera się B i odwrotnie.


Ogólnie chodzi o to, ze moim zdaniem nie zasłużyłem na zero pkt za to zadanie, bo prawie to udowodniłem
natomiast wersja mojego kolegi z tym rozpisaniem na sumę , bardziej przypadła oceniającemu do gustu. Chociaż jak dla mnie to jest to samo, z tą różnicą, że ja nie udowodniłem tego dlaczego iloczyn przyjmuje takie wartości, a nie inne.

[rafalpg]

dowodząc, rozpoczynamy z definicji lub przyjetych twierdzen , nie mozemy zaczynac od tezy i zakladac ,ze jest prawdziwa

[Qń]

Ogólnie chodzi o to, ze moim zdaniem nie zasłużyłem na zero pkt za to zadanie, bo prawie to udowodniłem

A moim zdaniem przedstawione przez Ciebie rozwiązania zasługuje na zero punktów.
Nic nie udowodniłeś, jedynie przekształciłeś tezę do innej postaci, a potem popełniłeś gruby błąd logiczny zakładając prawdziwość tezy.

Q.

[achillles]

\(\displaystyle{ \\ teraz \ lewa \ nierownosc\\ \frac {P(A \cap B)}{P(B)} \le \frac {P(A)}{P(B)}+1-1\\ \frac {P(A \cap B)}{P(B)} \le\frac {3}{4}\\ wiec\\ \frac{1}{2} \le P(A \backslash B) \le \frac{3}{4}}\)

nie rozumiem skąd bierze się tutaj +1 -1
czy to ma związek z ograniczeniem od góry przez 1 ?? Bo inaczej tego nie jestem w stanie pojąć