W grze uczestniczy 2 graczy. Rzucają na przemian dwiema kostkami do gry do momentu, gdy któryś z nich wyrzuci sumę oczek będących liczbą pierwszą-ten gracz wygrywa. Oblicz, o ile większe jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wygra gracz rozpoczynający grę.
Pozdrawiam:)
rzuty kostką
-
Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
rzuty kostką
Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy oczek będącą liczbą pierwszą to, o ile się nie pomyliłem, \(\displaystyle{ p\, = \, \frac{5}{12}}\) (liczby pierwsze, które możemy otrzymać, to 2, 3, 5, 7 i 11).
Prawdopodobieństwo wygranej pierwszego gracza w 2n+1 rzucie jest równe \(\displaystyle{ q^{2n}p}\), gdzie \(\displaystyle{ q\, = \, 1-p\, = \, \frac{7}{12}}\) jest prawdopodobieństwem porażki (w jednym rzucie). Stąd całkowite prawdopodobieństwo wygranej 1-go gracza jest równe \(\displaystyle{ P_1 \ = \ {\sum_{n=0}^{+\infty} }\, q^{2n}p \ = \ \frac{p}{1-q^2} \ = \ \frac{1}{1+q}}\)
Prawdopodobieństwo wygranej drugiego gracza to \(\displaystyle{ P_2\, = \, qP_1 \ = \ \frac{q}{1+q}}\).
Stąd szukana różnica to \(\displaystyle{ \frac{1-q}{1+q} \ = \ \frac{5}{19}}\)
Prawdopodobieństwo wygranej pierwszego gracza w 2n+1 rzucie jest równe \(\displaystyle{ q^{2n}p}\), gdzie \(\displaystyle{ q\, = \, 1-p\, = \, \frac{7}{12}}\) jest prawdopodobieństwem porażki (w jednym rzucie). Stąd całkowite prawdopodobieństwo wygranej 1-go gracza jest równe \(\displaystyle{ P_1 \ = \ {\sum_{n=0}^{+\infty} }\, q^{2n}p \ = \ \frac{p}{1-q^2} \ = \ \frac{1}{1+q}}\)
Prawdopodobieństwo wygranej drugiego gracza to \(\displaystyle{ P_2\, = \, qP_1 \ = \ \frac{q}{1+q}}\).
Stąd szukana różnica to \(\displaystyle{ \frac{1-q}{1+q} \ = \ \frac{5}{19}}\)