schemat Bernoulliego i niezależność zdarzeń

[piwowarczyk85]

Hej

Mógłby ktoś z was wyjaśnić mi lub pomóc w rozwiązaniu zadania Banacha? Szukałem na forum ale jest tylko jeden post, który i tak mi nic nie mówi. Jakby co przytaczam jego treść:

ZADANIE BANACHA:
Pewien matematyk ma dwa pudełka zapałek, w każdym po N zapałek. W momencie, gdy potrzebuje zapałki, wybiera losowo pudełko, a z niego zapałkę. Musi nadejść taki moment, w którym jedno z pudełek okaże się puste. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w tym momencie w drugim pudełku jest dokładnie K zapałek.

Dodatkowo męczy mnie jeszcze jedno zadanie z niezależności zdarzeń:

Z trzech osób A, B i C może na wycieczkę pojechać tylko jedna osoba. Osoby te rzucają kolejno monetą: najpierw osoba A, potem B, potem C, potem A, itd. Na wycieczkę pojedzie ta osoba, która pierwsza wyrzuci orła. Czy przy tej metodzie wszystkie osoby mają jednakową szansę na wyjazd.
Odpowiedź uzasadnij.


Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc.
Odwdzięczę się na pewno "+".
Pozdr.

[ar1]

zad 2) prawdopodobieństwa odpowiednio wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16},...}\)
prawdopodobienstwo,że A pojedzie to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{16}+...= \frac{4}{7}}\)
prawdopodobienstwo,że B pojedzie to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}+ \frac{1}{32}+...= \frac{2}{7}}\)
prawdopodobienstwo,że C pojedzie to \(\displaystyle{ \frac{1}{8} \frac{1}{64} +...= \frac{1}{7}}\)-- 28 lut 2010, o 10:03 --coś mi zapis nie wyszedł, tam na końcu to ma być \(\displaystyle{ \frac{1}{8}+ \frac{1}{64}+...= \frac{1}{7}}\)

[EnsamVarg]

Zdarzenie B polegajace na odkryciu, ze prawe (analogicznie mozemy rozumowac dla lewego) pudelko bedzie puste, a w lewym jest k zapalek zachodzi, gdy (N+1)-go wyboru z prawego dokonujemy w probie numer N+1+N-k.
Mamy zatem rozklad Pascala z parametrami:
\(\displaystyle{ r=N+1,\; \; n=2N-k+1,\; p=\frac{1}{2}}\)

Aby uzyskac poszukiwane prawdopodobienstwo wystarczy pomnozyc P(B) przez dwa (rozumowanie dla lewego pudelka i suma prawdopodobienstw).

[piwowarczyk85]

kurka no dalej nie rozumuję tego Banacha
Proszę jeśli się da jeszcze jaśniej...

[EnsamVarg]

To moze bez zadnych rozkladow i innych teorii, zrobimy od podstaw:)
Prob ("losoowan zapalek") mamy N+N-k+1= 2N-k+1 (Z jednego pudelka wyciaga N, z drugiego N-k, potem wostatniej probie stwierdza, ze jedno jest puste.)
Przedstawmy sobie wszystkie te losowania jako ciag. Niech L, P oznacza wyciagniecie z lewego, odpowiednio z prawego pudelka. Beda to wiec ciagi typu

(P,P,L,...L,P)
(Nie zapisuje tego scisle, opowiadam obrazowo
Zalozmy na chwile, ze interesuje nas sytuacja, w ktorej prawe pudelko zostaje puste, a w lewym pozostajek k zapalek. Wtedy ostatnie "losowanie" - ostatni wyraz ciagu - ma wartosc P.

Jak bylo powiedziane wyzej, w ciagu mamy N-k elementow L i N+1 elementow P


Na poczatek obliczmy prawdopodobienstwo otrzymania ciagu (L,L,...L,L,P,P,...,P,P)

Poniewaz facet wyciaga zapalki z takim samym prawdopodobienstwem z lewej, jak i z prawej,
prawdopodobienstwo otrzymania takiego ciagu wynosi

\(\displaystyle{ \Big(\frac{1}{2}\Big )^{2N-k+1}}\)

Ale w naszym zadaniu dopuszczalne sa wszystkie tego typu ciagi, jedyny warunek, ze na ostatniej pozycji jest P. A ich liczba to

\(\displaystyle{ {2N-k\choose N}}\)

(Sposrod 2N-k pozycji - bo ostatnia jest ustlona, "zarezerwowana" dla P - wybieramy te, na ktorych bedzie P)
Zatem:
Prawdopodobienstwo otrzymania ciagu, skladajacego sie z N+1 elementow P oraz z N-k elementow L gdzie na ostatniej pozycji jest P jest rowne:

\(\displaystyle{ {2N-k\choose N}\Big(\frac{1}{2}\Big )^{2N-k+1}}\)

Mamy zatem obliczone prawdopodobienstwo tego, ze facet odkryje, ze prawe pudelko jest puste, podczas gdy w lewym bedzie k zapalek. Poniewaz identyczne rozumowanie mozna przeprowadzic dla sytuacji "lewe zostaje puste", dla uzyskania ostatecznego wyniku mnozymy ostatnie prawdopodobienstwo przez dwa. I dostajemy
\(\displaystyle{ {2N-k\choose N}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{2N-k}}\)
I czesc pracy, rodacy.

[Loku]

zad 2) prawdopodobieństwa odpowiednio wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16},...}\)
prawdopodobienstwo,że A pojedzie to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{16}+...= \frac{4}{7}}\)
prawdopodobienstwo,że B pojedzie to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}+ \frac{1}{32}+...= \frac{2}{7}}\)
prawdopodobienstwo,że C pojedzie to \(\displaystyle{ \frac{1}{8} \frac{1}{64} +...= \frac{1}{7}}\)

-- 28 lut 2010, o 10:03 --

coś mi zapis nie wyszedł, tam na końcu to ma być \(\displaystyle{ \frac{1}{8}+ \frac{1}{64}+...= \frac{1}{7}}\)

nie rozumiem, skąd wyszły wyniki 4/7 itd...
Proszę o pomoc