Niezależność zdarzeń - 2 zadania

[piwowarczyk85]

Cześć - za choinkę nie mogę sobie poradzić z tymi zadaniami. To są bardziej zadania na udowodnienie (mi się wydaje) i nie wiem w ogóle za co się zabrać

1. Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą dwoma wykluczającymi się zdarzeniami określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ omega}\). Wykaż, że są one niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ P(A)=0}\) lub \(\displaystyle{ P(B)=0}\)

2. Zdarzenia \(\displaystyle{ A, B, C}\) są parami niezależne, a wszystkie trzy nie mogą zachodzić jednocześnie. Wyznacz największą wartość \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)}\), jeśli wiadomo, że każde ze zdarzeń \(\displaystyle{ A, B, C}\) zachodzi z tym samym prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\).

ODP: \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\)

3. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ P(B/A)=P(B/A')}\) i \(\displaystyle{ P(A)>0}\) oraz \(\displaystyle{ P(A')>0}\), to zdarzenia \(\displaystyle{ A}\)i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne.


Proszę was mistrzowie o pomoc w tych zadankach bo nawet ruszyć nie mogę.
Daje "+".

[EnsamVarg]

1. Zdarznia sie wykluczaja, zatem \(\displaystyle{ P(A\cap B)=0}\). Jesli zdarzenia sa niezalezne, to \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)P(B)}\). Mamy zatem

\(\displaystyle{ 0=P(A\cap B)=P(A)P(B)}\), skad wynika,ze P(A) lub P(B)jest rowne zero. Wynikanie w druga strone podobnie.

2.
\(\displaystyle{ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)= 3p-3p^2}\).

I obliczsz maksimum funkcji \(\displaystyle{ f(p)=3p-3p^2}\).

3.
\(\displaystyle{ P(B/A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}}\)

\(\displaystyle{ P(B/A')=\frac{P(A'\cap B)}{P(A')}}\)

Mamy wykazac, ze \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)P(B)}\)

Z zalozenia mamy

\(\displaystyle{ \frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A'\cap B)}{P(A')}}\)

Mamy dalej:

\(\displaystyle{ P(A\cap B)P(A')=P(A'\cap B)P(A)}\)

\(\displaystyle{ P(A\cap B)(1-P(A))=P(A'\cap B)P(A)}\). Stad:

\(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A'\cap B)P(A)+P(A\cap B)P(A)=P(A)(P(A'\cap B)+P(A\cap B))=P(A)(P((A'\cap B)\cup(A\cap B))=P(A)P(B)}\)