Witam,
jak w temacie : Urna w ktorej jest 15 kul o roznych kolorach. Mianowicie : 4 biale, 5 czarnych i 6 czerwonych. Losujemy 5 kul bez odkladania ich do urny.
Jakie jest prawdopodobienstwo ze wsrod kul wylosowanych...
a) nie bedzie bialej kuli?
b) beda dokladnie 2 czarne kule?
c) bedzie dokladnie tyle samo czarnych kul ile czerwonych?
Prosze o pomoc bo szczerze mowiac nie wiem jak do tego podejsc. Ostatnia stycznosc z takimi zadaniami mialem z 3-4 lata temu
Mysle ze przyda sie do rozwiazania zadania
\(\displaystyle{ {n \choose k}}\)
Pozdrawiam
Tomek
Urna i kule o roznych kolorach
-
Yaco_89
- Użytkownik
- Posty: 992
- Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy/Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 204 razy
Urna i kule o roznych kolorach
Te 5 kul z 15 możemy wylosować na \(\displaystyle{ {15\choose 5}}\) sposobów - to raczej jasne jak odświeżymy definicję symbolu Newtona. Teraz po kolei:
a) jest 11 kul o kolorze innym niż biały, więc możemy wylosować spośród nich 5 na \(\displaystyle{ {11\choose 5}}\) sposobów i tyle będzie wszystkich możliwych losowań kiedy żadna kula nie jest biała- prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi \(\displaystyle{ \frac{ {11 \choose 5} }{ {15 \choose 5} }}\)
b)wybieramy 2 z 5 czarnych kul ( \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) sposobów), a spośród pozostałych 10 wybieramy 3 (bo wszystkich kul w próbce jest 5=2+3) na \(\displaystyle{ {10 \choose 3}}\) sposobów. Wszystkich losowań w których będą dokładnie 2 czarne kule jest w takim układzie \(\displaystyle{ {5\choose 2} \cdot {10 \choose 3}}\), a prawdopodobieństwo będzie \(\displaystyle{ \frac{{5\choose 2} \cdot {10 \choose 3} }{ {15 \choose 5} }}\)
c) Może być po 1 kuli czarnej i czerwonej lub po 2 (nie może być po 0 gdyż wtedy musiałoby być 5 kul białych a w urnie są 4). Pierwszemu przypadkowi odpowiada \(\displaystyle{ {5 \choose 1} {6\choose 1} {4 \choose 3}}\) losowań (1 z 5 czarnych, 1 z 6 czerwonych i 3 z 4 białych), drugiemu \(\displaystyle{ {5\choose 2} {6\choose 2} {4 \choose 1}}\) (2 z 5 czarnych, 2 z 6 czerwonych i 1 biała). Te zdarzenia są rozłączne (nie możemy wylosować jednocześnie dwóch zestawów kul prawda?) więc prawdopodobieństwo wyniesie
\(\displaystyle{ \frac{{5 \choose 1} {6\choose 1} {4 \choose 3}+{5\choose 2} {6\choose 2} {4 \choose 1} }{ {15 \choose 5} }}\)
a) jest 11 kul o kolorze innym niż biały, więc możemy wylosować spośród nich 5 na \(\displaystyle{ {11\choose 5}}\) sposobów i tyle będzie wszystkich możliwych losowań kiedy żadna kula nie jest biała- prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi \(\displaystyle{ \frac{ {11 \choose 5} }{ {15 \choose 5} }}\)
b)wybieramy 2 z 5 czarnych kul ( \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) sposobów), a spośród pozostałych 10 wybieramy 3 (bo wszystkich kul w próbce jest 5=2+3) na \(\displaystyle{ {10 \choose 3}}\) sposobów. Wszystkich losowań w których będą dokładnie 2 czarne kule jest w takim układzie \(\displaystyle{ {5\choose 2} \cdot {10 \choose 3}}\), a prawdopodobieństwo będzie \(\displaystyle{ \frac{{5\choose 2} \cdot {10 \choose 3} }{ {15 \choose 5} }}\)
c) Może być po 1 kuli czarnej i czerwonej lub po 2 (nie może być po 0 gdyż wtedy musiałoby być 5 kul białych a w urnie są 4). Pierwszemu przypadkowi odpowiada \(\displaystyle{ {5 \choose 1} {6\choose 1} {4 \choose 3}}\) losowań (1 z 5 czarnych, 1 z 6 czerwonych i 3 z 4 białych), drugiemu \(\displaystyle{ {5\choose 2} {6\choose 2} {4 \choose 1}}\) (2 z 5 czarnych, 2 z 6 czerwonych i 1 biała). Te zdarzenia są rozłączne (nie możemy wylosować jednocześnie dwóch zestawów kul prawda?) więc prawdopodobieństwo wyniesie
\(\displaystyle{ \frac{{5 \choose 1} {6\choose 1} {4 \choose 3}+{5\choose 2} {6\choose 2} {4 \choose 1} }{ {15 \choose 5} }}\)