Udowodnij, że jedno ze zdarzeń jest pewne

[kamilka257]

Bardzo proszę o pomoc w udowodnieniu tego:

Para (omega, P) jest przestrzenią probabilistyczną, a A\(\displaystyle{ \subset}\) omega i B\(\displaystyle{ \subset}\) omega są zdarzeniami niezależnymi. Wykaż, że jeżeli P(A\(\displaystyle{ \cup}\)B)=1 to jedno ze zdarzeń jest zdarzeniem pewnym.

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) =}\) Z ZAŁOŻENIA NIEZALEŻNOŚCI ZDARZEN A i B\(\displaystyle{ = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) = P(A) \cdot (1-P(B)) + P(B)}\)
Założenie że \(\displaystyle{ P(A \cup B) = 1}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ P(A) \cdot (1-P(B)) + P(B) =1 \\
P(A) \cdot (1-P(B)) =1- P(B) = 1 \cdot (1-P(B))}\)

czyli P(A)=1

[EnsamVarg]

A i B niezalezne, czyli \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)P(B)}\) Wobec tego mamy

\(\displaystyle{ 1=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)}\)

Zatem
\(\displaystyle{ P(A)(1-P(B))=1-P(B)}\),

Skad latwo wynika, ze P(A)=1 lub P(B)=1, zatem jedno ze zdarzen A, B jest zdarzeniem pewnym.

[Inkwizytor]

"Wszystkim się zdawało a to echo grało..."

[bstq]

\(\displaystyle{ P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)\text{ - zdarzenia niezalezne }}\)

\(\displaystyle{ 1=P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=P\left(A\right)\left[1-P\left(B\right)\right]+P\left(B\right)=x(1-y)+y,\; x,y\in[0,1]}\)

\(\displaystyle{ 1=x(1-y)+y}\)

\(\displaystyle{ x(1-y)+y-1=0}\)

\(\displaystyle{ x(1-y)-(1-y)=0}\)

\(\displaystyle{ (x-1)(1-y)=0\Leftrightarrow x-1=0\vee1-y=0\Leftrightarrow x=1\vee1=y\Leftrightarrow P\left(A\right)=1\vee1=P\left(B\right)}\)