Obliczyć p-stwo sumy niezaleznych trzech dyskretnych zmiennych losowych dla s = 3, P(\(\displaystyle{ X _{1} + X _{2} + X_{3} = 3}\)) jeżeli zmienne mają rozkłady podane niżej w tabeli.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X _{k} & p _{k 1} & p _{k 2} & p _{k 3} \\ \hline
0 & 0,3 & 0,4 & 0,5 \\ \hline
1 & 0,5 & 0,6 & 0,1 \\ \hline
2 & 0 & 0 & 0,2 \\ \hline
3 & 0,2 & 0 & 0,2 \\
\hline
\end{tabular}}\)
-- 18 lutego 2010, 18:14 --
Dobra napiszcie mi przynajmniej czy dobrze rozumiem
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X _{k} & p _{k 1} & p _{k 2} & p _{k 3} & P(X _{1} + X _{2} = x _{k}) & P(X _{1} + X _{2} + X _{3}= x _{k}) \\ \hline
0 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,12 & 0,06 \\ \hline
1 & 0,5 & 0,6 & 0,1 & 0,38 & 0,202\\ \hline
2 & 0 & 0 & 0,2 & 0,3 & 0,212\\ \hline
3 & 0,2 & 0 & 0,2 & 0,08 & 0,17\\
\hline
\end{tabular}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ P(X _{1} + X _{2} + X _{3}= 3}) = 0,17}\)?
P-stwo sumy zmiennych losowych
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
P-stwo sumy zmiennych losowych
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$X_{1}$ & $X_{2}$ & $X_{3}$ & pstwo\tabularnewline
\hline
\hline
0 & 0 & 3 & $0,3*0,4*0,2$\tabularnewline
\hline
0 & 3 & 0 & $0,3*0*0,5$\tabularnewline
\hline
3 & 0 & 0 & $0,2*0,4*0,5$\tabularnewline
\hline
2 & 1 & 0 & $0*0,6*0,5$\tabularnewline
\hline
2 & 0 & 1 & $0*0,4*0,1$\tabularnewline
\hline
1 & 2 & 0 & $0,5*0*0,5$\tabularnewline
\hline
0 & 2 & 1 & $0,3*0*0,1$\tabularnewline
\hline
1 & 0 & 2 & $0,5*0,4*0,2$\tabularnewline
\hline
0 & 1 & 2 & $0,3*0,6*0,2$\tabularnewline
\hline
1 & 1 & 1 & $0,5*0,6*0,1$\tabularnewline
\hline
& & WYNIK: & suma z tej kolumny=0,17\tabularnewline
\hline
\end{tabular}}\)
\(\displaystyle{ P\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\; i\; X_{1}=1\; i\; X_{2}=0\; i\; X_{3}=2\right)=P\left(\left\{ X_{1}+X_{2}+X_{3}=3\right\} \cap\left\{ X_{1}=1\; i\; X_{2}=0\; i\; X_{3}=2\right\} \right)=P\left(\left\{ X_{1}=1\; i\; X_{2}=0\; i\; X_{3}=2\right\} \right)\overset{\text{niezlaleznosc}}{=}P\left(X_{1}=1\right)P\left(X_{2}=0\right)P\left(X_{3}=2\right)}\)
mamy następującą implikację
\(\displaystyle{ x_{1}=1,x_{2}=0,x_{3}=2\Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=1+0+2=3}\), czyli
\(\displaystyle{ \left\{ X_{1}=1\; i\; X_{2}=0\; i\; X_{3}=2\right\} \subset\left\{ X_{1}+X_{2}+X_{3}=3\right\}}\),
więc przecięcie będzie mniejszym zdarzeniem
wynik jest ze wzoru na pstwo calkowite:
\(\displaystyle{ P\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}=3\right)=\sum_{i}\sum_{j}\sum_{k}P\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}=3\; i\; X_{1}=i,X_{2}=j,X_{3}=k:\;i+j+k=3,i,j,k}\)=0,1,2,3)
oczywiscie zapomniales o tym, ze jesli sumujesz trzy zmienne losowe o wartosciach 0,1,2,3 , to mozesz otrzymac wyniki 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
czyli wyszlo mi tak samo
\hline
$X_{1}$ & $X_{2}$ & $X_{3}$ & pstwo\tabularnewline
\hline
\hline
0 & 0 & 3 & $0,3*0,4*0,2$\tabularnewline
\hline
0 & 3 & 0 & $0,3*0*0,5$\tabularnewline
\hline
3 & 0 & 0 & $0,2*0,4*0,5$\tabularnewline
\hline
2 & 1 & 0 & $0*0,6*0,5$\tabularnewline
\hline
2 & 0 & 1 & $0*0,4*0,1$\tabularnewline
\hline
1 & 2 & 0 & $0,5*0*0,5$\tabularnewline
\hline
0 & 2 & 1 & $0,3*0*0,1$\tabularnewline
\hline
1 & 0 & 2 & $0,5*0,4*0,2$\tabularnewline
\hline
0 & 1 & 2 & $0,3*0,6*0,2$\tabularnewline
\hline
1 & 1 & 1 & $0,5*0,6*0,1$\tabularnewline
\hline
& & WYNIK: & suma z tej kolumny=0,17\tabularnewline
\hline
\end{tabular}}\)
\(\displaystyle{ P\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\; i\; X_{1}=1\; i\; X_{2}=0\; i\; X_{3}=2\right)=P\left(\left\{ X_{1}+X_{2}+X_{3}=3\right\} \cap\left\{ X_{1}=1\; i\; X_{2}=0\; i\; X_{3}=2\right\} \right)=P\left(\left\{ X_{1}=1\; i\; X_{2}=0\; i\; X_{3}=2\right\} \right)\overset{\text{niezlaleznosc}}{=}P\left(X_{1}=1\right)P\left(X_{2}=0\right)P\left(X_{3}=2\right)}\)
mamy następującą implikację
\(\displaystyle{ x_{1}=1,x_{2}=0,x_{3}=2\Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=1+0+2=3}\), czyli
\(\displaystyle{ \left\{ X_{1}=1\; i\; X_{2}=0\; i\; X_{3}=2\right\} \subset\left\{ X_{1}+X_{2}+X_{3}=3\right\}}\),
więc przecięcie będzie mniejszym zdarzeniem
wynik jest ze wzoru na pstwo calkowite:
\(\displaystyle{ P\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}=3\right)=\sum_{i}\sum_{j}\sum_{k}P\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}=3\; i\; X_{1}=i,X_{2}=j,X_{3}=k:\;i+j+k=3,i,j,k}\)=0,1,2,3)
oczywiscie zapomniales o tym, ze jesli sumujesz trzy zmienne losowe o wartosciach 0,1,2,3 , to mozesz otrzymac wyniki 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
czyli wyszlo mi tak samo