Minimum raz zdanie A w trzech próbach.

[jaro89]

Mam problem z tym zadaniem, a mianowicie nie wiem do końca jak to zrobić:
Oblicz prawdopodobieństwo pojawienia się co najmniej raz zdania A w trzech niezależnych doświadczeniach, jeśli prawdopodobieństwo pojawienia się tego zdania w jednym doświadczeniu wynosi P.

[Yaco_89]

Skoro nie wiesz "do końca" to rozumiem że coś tam masz - napisz na czym utknąłeś i coś z tym spróbujemy zrobić, to będzie miało więcej sensu niż pisanie rozwiązania od zera.

[jaro89]

zdarzenia są niezależne więc można je mnożyć
Xi Pxi
1 P
2 P*(1-P)
3 P*(1-P)*(1-P)+(1-P)(1-P)(1-P)

Czy to ma tak wyglądać? (przy X=3 tą cześć którą dodaje to założenie że zdanie się w ogóle nie pojawi)

[Yaco_89]

Nie do końca rozumiem zapis, ale raczej nie tak to ma wyglądać. Zauważ że zapisałeś prawdopodobieństwo że A nie wystąpi ani razu, a w treści zadania szukamy tak naprawdę zdarzenia przeciwnego...

[jaro89]

Ja liczyłem to za pomocą drzewka. Czy nie brać pod uwagę zdarzenie że zdanie się w ogóle nie pojawi? Czy mógłbyś mi podać poprawny zapis?

[Yaco_89]

ja bym to zapisał tak (na chłopski rozum):
- A nie występuje ani razu: prawd. \(\displaystyle{ (1-P)(1-P)(1-P)}\)
- dokładnie 1 raz: \(\displaystyle{ 3(1-P)(1-P)P}\) - jest to łączne prawdopodobieństwo zdarzeń "A występuje w 1. próbie a w 2. i 3. nie" (równe \(\displaystyle{ P(1-P)(1-P)}\). "A w 2. próbie a w 1. i 3. nie" (\(\displaystyle{ (1-P)P(1-P)}\)) i "A występuje tylko w 3. próbie" (\(\displaystyle{ (1-P)(1-P)P}\)), są to zdarzenia oczywiście rozłączne więc dodajemy prawdopodobieństwa
-dokładnie 2 razy: \(\displaystyle{ 3P^2(1-P)}\) (analogicznie jak powyżej)
-3 razy: \(\displaystyle{ P^3}\)
We wszystkich przypadkach mamy zdarzenia rozłączne (A nie może wystąpić jednocześnie w dwóch i trzech próbach).

[jaro89]

Dziękuje serdecznie za pomoc.