Zmienne losowe, wartości oczekiwane - 4 zadania

[kolek13]

1. Rzeczywiste zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne i obie mają rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ X\cdot Y}\).

2. Rzeczywiste zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne i obie mają rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 1}\). Obliczyć \(\displaystyle{ E(X|X\geq Y)}\).

3. Rozważamy szesnastoelementową rodzinę \(\displaystyle{ C}\) wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4\}}\). Z rodziny \(\displaystyle{ C}\) losujemy bez zwracania dwa elementy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), przy czym prawdopodobieństwo wylosowania każdej z \(\displaystyle{ 240}\) możliwych do wylosowania par \(\displaystyle{ (A,B)}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{240}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ E|A\backslash B|}\), czyli wartość oczekiwaną liczby elementów zbioru \(\displaystyle{ A\backslash B}\).

4. Rzeczywiste zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,X_2,...}\) określone są na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Ponadto \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} EX_n^2=0}\). Czy wynika stąd, że ciąg \(\displaystyle{ (X_n)}\) jest zbieżny według prawdopodobieństwa? Czy wynika stąd, że z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) ciąg \(\displaystyle{ (X_n)}\) jest ograniczony.

[kalabim]

Nie chciałbym zakladać nowego wątku, więc mam pytanie podobne do zad 1.
Zmienna \(\displaystyle{ Y=X^{2}}\) i \(\displaystyle{ X:N(m,σ)}\) obliczyć \(\displaystyle{ E(Y)}\)

[kolek13]

\(\displaystyle{ E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2g(x)dx=D^2X+m}\) gdzie g(x) jest gęstością rozkładu

[kalabim]

Sprytne i bardzo przydatne. Stąd wynika, że E(X�)=1 gdy, X~N(0,1). Bez liczenia. Dzięki. Jakbym wiedział jak się daję punkty pomógł to napewno bym dał. Aha i tam powinno być m�. We wzorze jest σ�=EX�-(EX)�. Sorry, że poprawiam, ale z tego uczą się też inni

[Sir George]

Ad.1 Zmienna losowa \(\displaystyle{ X\cdot Y}\) ma gestosc \(\displaystyle{ \quad d\mu(x)\ = \ (-\ln x)\,dx}\)
i przyjmuje wartosci z przedzialu \(\displaystyle{ [0,1]}\)...

cdn.