Witam!
Jak udowodnić, że zmienna losowa \(\displaystyle{ Y= \frac{X-m}{\sigma}}\) ma rozkład normalny z parametrami N(0,1)? Będę wdzięczny za pomoc.
Zmienna standaryzowana
-
swistak2341
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 16 lis 2009, o 12:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: oleśnica
-
rsasquatch
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 1 lut 2010, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Pomógł: 35 razy
Zmienna standaryzowana
\(\displaystyle{ \phi_X(t)=e^{mit- \frac{ \partial ^2t^2}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \phi_Y(t)=\phi_{ \frac{X-m}{ \partial } }(t)=e^{- \frac{mti}{ \partial }}\phi_X( \frac{t}{ \partial })=e^{- \frac{mti}{ \partial }}e^{ \frac{mit}{ \partial } - \frac{ \partial ^2t^2}{2 \partial ^2} }=e^{ -\frac{t^2}{2}}\)
Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego N(0,1) wobec tego Y ma rozkład normalny N(0,1)
\(\displaystyle{ \phi_Y(t)=\phi_{ \frac{X-m}{ \partial } }(t)=e^{- \frac{mti}{ \partial }}\phi_X( \frac{t}{ \partial })=e^{- \frac{mti}{ \partial }}e^{ \frac{mit}{ \partial } - \frac{ \partial ^2t^2}{2 \partial ^2} }=e^{ -\frac{t^2}{2}}\)
Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego N(0,1) wobec tego Y ma rozkład normalny N(0,1)