Dystrybuanta funkcji

Irvineg · Post autor: **Irvineg** » 9 lut 2010, o 14:19

Witam!

Mam problem z następującym zadaniem:

Sprawdź czy funkcja:

f(x)= \(\displaystyle{ \begin{cases} 0, x<0 \\ 2e ^{-2x}, x \ge 0 \end{cases}}\)

jest gęstością prawdopodobieństwa. Znaleźć dystrybuantę F. Obliczyć prawdopodobieństwo P(X<1/2 ) i P(1<X<2). Zinterpretować te prawdopodobieństwa na wykresie gęstości i prawdopodobieństwa.

Z interpretacją na wykresach dam radę, tylko nie mam pojęcia jak się zabrać za wyznaczenie dystrybuanty i policzenie prawdopodobieństw. Bardzo proszę o pomoc.

Yaco_89 · Post autor: **Yaco_89** » 9 lut 2010, o 14:27

myślę, że aby sprawdzić czy f jest gęstością wystarczy obliczyć całkę niewłaściwą \(\displaystyle{ \int_{\matbb{R}}^{}f(x)dx}\) i sprawdzić czy jest równa 1. No a mając gęstość to wyznaczenie dystrybuanty jest już proste jak zna się definicję... Szukane prawdopodobieństwa będą równe odpowiednio \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \frac{1}{2} }f(x)dx}\) i \(\displaystyle{ \int_{1}^{2}f(x)dx}\)

Irvineg · Post autor: **Irvineg** » 9 lut 2010, o 14:54

Dziękuję za pomoc.
Tylko jak to jest dokładnie z wyznaczeniem dystrybuanty jak mam gęstość?
Bardzo proszę o odpowiedź.

Yaco_89 · Post autor: **Yaco_89** » 9 lut 2010, o 15:16

W tym przypadku dystrybuanta będzie po prostu funkcją pierwotną dla gęstości, liczymy ją jako \(\displaystyle{ D(x)= \int_{- \infty }^{x}f(t)dt}\) gdzie f jest gęstością prawdopodobieństwa.

Irvineg · Post autor: **Irvineg** » 9 lut 2010, o 15:24

Dziękuję za pomoc.