Rozmieszczanie kul w pudełkach

[Bartek1991]

Na ile sposobów można rozmieścić k kul (\(\displaystyle{ k \ge 4}\), każda kula innego koloru) w k ponumerowanych pudełkach tak, aby

a) żadne pudełko nie było puste?
b) dokładnie jedno pudełko było puste?
c) dokładnie k-2 pudełka były puste?

a) Wyszło mi że tych możliwości będzie \(\displaystyle{ k!}\).

Nie wiem czy to jest dobrze i nie mam pojęcia jak zabrać się za następne dwa podpunkty. Bardzo proszę o pomoc.

[micha?3141]

ad b)
Zauważ że najpierw musisz wybrać pudełko, które będzie puste: możesz to uczynić na \(\displaystyle{ k}\) sposobów. Teraz zostaje Ci \(\displaystyle{ k-1}\) pudełek i \(\displaystyle{ k}\) kul. W każdym z tych \(\displaystyle{ k-1}\)
pudełek musisz mieć przynajmniej jedną kulkę. Ponieważ kul jest \(\displaystyle{ k}\) będziemy mieli w \(\displaystyle{ k-2}\) pudełkach \(\displaystyle{ 1}\) kulę i w jednym pudełku dwie kule. Wybieramy zatem na \(\displaystyle{ k-1}\)
sposobów to pudełko, w którym są dwie kule i wkładamy do niego na \(\displaystyle{ {k \choose 2}}\) sposoby dwie kule z naszych kul. Teraz zostają nam \(\displaystyle{ k-2}\) kule i tyle samo pudełek. Kule te rozmieszczamy w pudełkach na \(\displaystyle{ (k-2)!}\) sposobów (tyle jest permutacji bez powtórzeń ze zbioru \(\displaystyle{ k-2}\) elementowego ). Ostateczny wynik:
\(\displaystyle{ liczba sposobów = k(k-1) {k \choose 2}(k-2)!}\)
Podpunkt a jest OK,
Hint do c: Zauważ \(\displaystyle{ k-2}\) pudełka puste to inaczej 2 pudełka zawierający wszystkie kule. Pomyśl o wariacji z powtórzeniami

[Bartek1991]

c) Najpierw wybieram te dwa pudełka w których będą wszystkie kulki na \(\displaystyle{ {k \choose 2 }}\) sposobów. I teraz mam k kul które muszę umiescić w tych pudełkach. Biorę pierwszą kulke - mam dwie możliwości, biorę drugą - mam dwie możliwości, biorę trzecie - dwie możliwości,...,biorę k-tą kulkę - nadal dwie możliwości, czyli w sumie \(\displaystyle{ 2^k}\) możliwości, więc ostatecznie byłoby \(\displaystyle{ {k \choose 2} \cdot 2^k}\). Nie wiem czy to jest dobrze.

[micha?3141]

Prawie dobrze, ale niestety źle.
Rzeczywiście na \(\displaystyle{ {k \choose 2}}\) sposoby możesz wybrać te dwa pudełka. Następnie masz rozmieścić te kulki w tych dwóch pudełkach. Problem polega na tym że na \(\displaystyle{ 2^{k}}\) sposobów możesz rozmieścić wszystkie kulki w tych pudełkach, ale będą w tym 2 szczególne rozmieszczenia niepasujące do treści zadania. Mianowicie: wszystkie kulki powędrują do pudełka "a" albo wszystkie do pudełka "b". Wtedy tylko 1 pudełko będzie zajęte. Zatem od całkowitej liczby rozmieszczeń 'k' kulek w dwóch pudełkach musisz odjąć 2
Ostateczny wynik to:
\(\displaystyle{ {k \choose 2}(2 ^{k} -2)}\)

[karolina159159]

Na ile sposobow można rozmiescic n kul w n pudelkach, tak żeby dokładnie dwa pudelka zostały puste? zaloz, ze n>3 oraz zarówno kule jak i pudelka sa miedzy sobą rozróżnialne.

najpierw wybieramy szuflady, które maja być pelne (kombinacja) a później? permutacja bez powtorzen ?? proszę o jakies wskazowki

[Gouranga]

karolina159159, najpierw na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposobów wybierz puste pudełka
następnie w każdym z pozostałych \(\displaystyle{ n-2}\) musi być conajmniej jedna kula więc rozmieszczasz je na \(\displaystyle{ \frac{n!}{2!}}\) sposobów w pudłach. Zostają ci 2 kule, każdą z nich możesz włożyć do dowolnego z tych \(\displaystyle{ n-2}\) pudeł co daje \(\displaystyle{ (n-2)^2}\)
ostatecznie \(\displaystyle{ {n \choose 2} \cdot \frac{n!}{2} \cdot (n-2)^2}\)

[karolina159159]

Dziękuję za pomoc, ale obliczyłam, że ilość możliwości takiego rozmieszczenia kul dla n=4 wynosi 84, a ze wzoru, który podałeś wychodzi liczba o wiele większa.. męczę się nad tym zadaniem cały dzień, ale nic mi nie wychodzi. A czy można byłoby to rozwiązać za pomocą liczb Sterlinga II rodzaju?