Jak pokazać, że jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to zdarzenia:
a) \(\displaystyle{ A^{c} i B^{c}}\) są niezależne
b) \(\displaystyle{ A^{c} i B}\) są niezależne
niezależne zdarzenia
-
rsasquatch
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 1 lut 2010, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Pomógł: 35 razy
niezależne zdarzenia
a)Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ P(A ^{c} \cap B ^{c} )=P(A ^{c}) \cdot P(B ^{c})}\)
\(\displaystyle{ P(A ^{c} \cap B ^{c} )=P((A \cup B) ^{c} )=1-P(A \cup B)=1-P(A)+P(B)-P(A \cap B)=1-P(A)-P(B)+P(A) \cdot P(B)=(1-P(A)) \cdot (1-P(B))=P(A ^{c}) \cdot P(B ^{c})}\)
b)Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ P(A ^{c} \cap B )=P(A ^{c}) \cdot P(B )}\)
\(\displaystyle{ P(A ^{c} \cap B )=P(B/A)=P(B/(A \cap B))=P(B)-P(A \cap B)=P(B)-P(A) \cdot P(B)=P(B) \cdot (1-P(A))=P(B) \cdot P(A ^{c})}\)
\(\displaystyle{ P(A ^{c} \cap B ^{c} )=P((A \cup B) ^{c} )=1-P(A \cup B)=1-P(A)+P(B)-P(A \cap B)=1-P(A)-P(B)+P(A) \cdot P(B)=(1-P(A)) \cdot (1-P(B))=P(A ^{c}) \cdot P(B ^{c})}\)
b)Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ P(A ^{c} \cap B )=P(A ^{c}) \cdot P(B )}\)
\(\displaystyle{ P(A ^{c} \cap B )=P(B/A)=P(B/(A \cap B))=P(B)-P(A \cap B)=P(B)-P(A) \cdot P(B)=P(B) \cdot (1-P(A))=P(B) \cdot P(A ^{c})}\)