Witam,
Mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania, prosiłbym o pomoc w rozgryzieniu
Podana jest funkcja 2 zmiennych:
\(\displaystyle{ f(x,y) = \{ c \ dla \ (0 \leqslant x \leqslant 1 \wedge 0 \le y \le 1) \vee (2 \le x \le 3 \wedge 2 \le y \le 3) \}}\) natomiast 0 poza zdefiniowanym zakresem.
Dla jakiej wartości c funkcja f(x,y) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej? Wyznaczyć jej dystrybuantę oraz zbadać zależność zmiennych losowych X i Y.
Prawdopodobieństwo dwuwymiarowej zmiennej losowej
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 5 lut 2010, o 09:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mogilno
- Podziękował: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 103
- Rejestracja: 6 maja 2008, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zoso
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 5 razy
Prawdopodobieństwo dwuwymiarowej zmiennej losowej
Gęstość musi się całkować do jedynki na całym obszarze, na którym jest określona. Widzimy również, że podana przez ciebie gęstość jest jednostajnie rozłożona na tym obszarze. Zatem to będzie tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \mbox{d}x \int_{0}^{1}c \mbox{d}y + \int_{2}^{3} \mbox{d}x \int_{2}^{3} c \mbox{d}y}\)
Stałą c możesz sobie wyciągnąć przed całki. Dystrybuantą jest wynik tego co napisałem wyżej.
Jeśli chodzi o intuicję: W zadaniu masz podane pole podstawy jakiejś figury przestrzennej i teraz dobierasz c (czyli wysokość) takie, żeby objętość tej tej figury wynosiła 1.
Podobnie dla zmiennej losowej jednowymiarowej, tylko że wtedy powierzchnia musi się równać 1.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \mbox{d}x \int_{0}^{1}c \mbox{d}y + \int_{2}^{3} \mbox{d}x \int_{2}^{3} c \mbox{d}y}\)
Stałą c możesz sobie wyciągnąć przed całki. Dystrybuantą jest wynik tego co napisałem wyżej.
Jeśli chodzi o intuicję: W zadaniu masz podane pole podstawy jakiejś figury przestrzennej i teraz dobierasz c (czyli wysokość) takie, żeby objętość tej tej figury wynosiła 1.
Podobnie dla zmiennej losowej jednowymiarowej, tylko że wtedy powierzchnia musi się równać 1.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 5 lut 2010, o 09:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mogilno
- Podziękował: 1 raz
Prawdopodobieństwo dwuwymiarowej zmiennej losowej
Czyli w tym wypadku \(\displaystyle{ c = \frac{1}{2}}\), tak?
"zbadać zależność zmiennych losowych X i Y" chodzi o zwyczajne EX, EY, EXY i COV, tak? Pytam, bo zdaje się mam trochę braki w probabilistyce
"zbadać zależność zmiennych losowych X i Y" chodzi o zwyczajne EX, EY, EXY i COV, tak? Pytam, bo zdaje się mam trochę braki w probabilistyce
-
- Użytkownik
- Posty: 103
- Rejestracja: 6 maja 2008, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zoso
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 5 razy
Prawdopodobieństwo dwuwymiarowej zmiennej losowej
Zmienne są niezależne gdy:
\(\displaystyle{ P(X,Y)=P(X)P(Y)}\) dla rozkładów dyskretnych
\(\displaystyle{ f(x,y)=f(x)f(y)}\) dla ciągłych
\(\displaystyle{ P(X,Y)=P(X)P(Y)}\) dla rozkładów dyskretnych
\(\displaystyle{ f(x,y)=f(x)f(y)}\) dla ciągłych