Siemka potrzebuję waszej pomocy, niedługo czeka mnie poprawka z Rachunku Pradopodobieństwa, zacząłem się w końcu go uczyć i tak się uczę już 3 tydzień. Natrafiam co i raz na pewne problemy. A mianowice nie mogę rozwiązać 3 zadań i proszę o pomoc )
ZADANIE 1.
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają odpowiednie gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)=2e^{-2x}\ 1\ _{[0,\infty]}\ (x),}\)
\(\displaystyle{ g(y)=1\ _{[0,\infty]}(y).}\)
Wyznaczyć \(\displaystyle{ P(Y\leq X)}\)
ZADANIE 2
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=e^X}\).
ZADANIE 3
Łączny rozkład wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) podaje tableka
\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc} Y/X & 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{6} & a \\ 1 & b & \frac{2}{6} \\ \end{array}}\)
Wyznaczyć parametry \(\displaystyle{ a,b}\) tak, aby zmienne były niezależne.
ZADANIE 4
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają odpowiednio gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)=5e^{-5x}\ 1\ _{[0,\infty]}(x),}\)
\(\displaystyle{ g(x)=3e^{-3y}\ 1\ _{[0,\infty]}(y)}\)
Wyznaczyć \(\displaystyle{ P(|X+Y|}\)
Zmienne losowe
Zmienne losowe
Z 3
(1/6 + a)(1/6 +b) = 1/6
(2/6 + a)(2/6 +b) = 2/6
z tego ukladu wychodzi a= 1/6 i b= 1/3 lub odwrotnie a=1/3 i b= 1/6
Powyzszy uklad jest efektem posluzenia sie twierdzenia o niezaleznosci zdarzen.
Jesli w swojej tabelce dorobisz jeszcze 1 kolumne i 1 wiersz i nazwiesz je odpowiednio p.k oraz pi. to w poszczegolnych polach bedziesz mogl wpisac sumy wierzy i sumy kolumn pod spodem np 1/6 +a itp a w powstalym dodatkowym narozniku wpisujesz 1 bo z kolei sumy tych nowo powstalych czesci tabeli sa rowne 1. no i teraz:
pik=p.k*pi. co chyba juz dokladnie tlumaczy ten uklad rownan
Ps. kropki przy wszystkich p z indeksami sa oczywiscie nieprzypadkowe:)
Z 4
Obliczasz dystrybuanty X, Y;
Z=X+Y
Obliczasz dystrybuante Z;
P(|Z|
(1/6 + a)(1/6 +b) = 1/6
(2/6 + a)(2/6 +b) = 2/6
z tego ukladu wychodzi a= 1/6 i b= 1/3 lub odwrotnie a=1/3 i b= 1/6
Powyzszy uklad jest efektem posluzenia sie twierdzenia o niezaleznosci zdarzen.
Jesli w swojej tabelce dorobisz jeszcze 1 kolumne i 1 wiersz i nazwiesz je odpowiednio p.k oraz pi. to w poszczegolnych polach bedziesz mogl wpisac sumy wierzy i sumy kolumn pod spodem np 1/6 +a itp a w powstalym dodatkowym narozniku wpisujesz 1 bo z kolei sumy tych nowo powstalych czesci tabeli sa rowne 1. no i teraz:
pik=p.k*pi. co chyba juz dokladnie tlumaczy ten uklad rownan
Ps. kropki przy wszystkich p z indeksami sa oczywiscie nieprzypadkowe:)
Z 4
Obliczasz dystrybuanty X, Y;
Z=X+Y
Obliczasz dystrybuante Z;
P(|Z|