całka,granica

[majkamaja]

Obliczyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \int_{0}^{1} ... \int_{0}^{1} \frac{ {X}_{1}^3+{X}_{2}^3+..+{X}_{n}^3 }{{X}_{1}+{X}_{2} +..+{X}_{n}}} d {X}_{1} ... d {X}_{n}}\)
Niech \(\displaystyle{ {X}_{1} ,{X}_{2},..}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ (0,1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{{X}_{1}^3+{X}_{2}^3+..+{X}_{n}^3 }{n} }{ \frac{{X}_{1}+{X}_{2} +..+{X}_{n}}{n} } \rightarrow \frac{E X_{1}^3 }{E X_{1} }= \frac{\int_{0}^{1}X_{1}^3 d X_{1} }{\int_{0}^{1} X_{1} d X_{1} } = \frac{1}{2}}\)

Jest dobrze?
dziekuje

[drunkard]

Jednym okiem zerknąłem, wygląda dobrze, ale nie \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) przypadkiem?

[majkamaja]

\(\displaystyle{ \frac{\int_{0}^{1}X_{1}^3 d X_{1} }{\int_{0}^{1} X_{1} d X_{1} }=\frac { \frac{1}{4}}{ \frac{1}{2}}= \frac{1}{2}}\)
ok?-- 26 sty 2010, o 23:18 --A jak policzyć coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \int_{0}^{1} ... \int_{0}^{1} f( \sqrt[n]{ X_{1}X_{2}...X_{n} }) d {X}_{1} ... d {X}_{n}}\)