oblicz prawdopodobienstwo
oblicz prawdopodobienstwo
jeżeli rzucimy symetryczną monetą sześćdziesiąt razy to czy prawdopodobieństwo wyrzucenia 15 orłów jest równe prawdopodobieństwu wyrzucenia 45 orłów?
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
oblicz prawdopodobienstwo
Tak.
Wystarczy porównać wzór na schemat Bernouliego dla tych danych.
Albo logicznie na to patrząc wyrzucenie 45 orłów, to inaczej wyrzucenie 15 reszek. Czyli mamy porównać prawdopodobieństwa wyrzucenia 15 orłów z prawdopodobieństwem wyrzucenia 15 reszek.
Wystarczy porównać wzór na schemat Bernouliego dla tych danych.
Albo logicznie na to patrząc wyrzucenie 45 orłów, to inaczej wyrzucenie 15 reszek. Czyli mamy porównać prawdopodobieństwa wyrzucenia 15 orłów z prawdopodobieństwem wyrzucenia 15 reszek.
oblicz prawdopodobienstwo
nigdy nie spotkałam się z tym schematem, dziś trochę o nim czytałam i nie jestem pewna czy dobrze to rozumiem,bo próbując obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia 15 reszek wyszedł mi cięzko skracalny ułamek. Wystarczy porównać?
bo muszę jeszcze uzasadnić,że prawdopodobieństwo to nie jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) i sprawdzić czy jest mniejsze niż prawdopodobieństwo wyrzucenia 55 orłów?
nie wiem jak to wszystko zapisać.
ps. co znaczy,że prawdopodobieństwo A jest niezależne od samego siebie?
bo muszę jeszcze uzasadnić,że prawdopodobieństwo to nie jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) i sprawdzić czy jest mniejsze niż prawdopodobieństwo wyrzucenia 55 orłów?
nie wiem jak to wszystko zapisać.
ps. co znaczy,że prawdopodobieństwo A jest niezależne od samego siebie?
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
oblicz prawdopodobienstwo
Schemat Bernouliego jest prostą konsekwencją liczenia prawdopodobieństwa kolejnych jednakowych zdarzeń (wystarczy zrozumieć jego sens).
Zobacz to na przykładzie np. wyrzucenia 2 razy szóstki w 5 rzutach. Dla takiego doświadczenia:
\(\displaystyle{ p= \frac {1}{6}}\)
\(\displaystyle{ q= \frac {5}{6}}\)
Zdarzeniem sprzyjającym jest np. taki wynik:
*, 6, *, 6, *
dla którego prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot}\)
Ale zdarzeniem sprzyjającym jest każdy inny wynik w którym będą dwie szóstki (na dowolnym miejscu) np. 6, *, 6 *, * | *, *, *, 6, 6 | itd.
Widzisz więc, że w wyliczanym prawdopodobieństwie – iloczynie będą zawsze dwa ułamki \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) i trzy ułamki \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\).
Pozostaje pytanie ile jest takich wszystkich wariantów w których na dwóch z pięciu miejsc będą szóstki (tak jakbyśmy wybierali 2 pozycje spośród 5). A takich możliwości wyboru jest przecież \(\displaystyle{ {n \choose k}}\)
I dlatego prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe:
\(\displaystyle{ P(A)={5\choose 2} \cdot \left( \frac {1}{6}\right) ^{2} \cdot \left( \frac {5}{6}\right) ^{3}}\)
Myślę, że teraz rozumiesz skąd wziął się taki wzór?
Zauważ też, że jeżeli p=q=0,5, to:
\(\displaystyle{ p^{k} \cdot q^{n-k} = p^{n}}\)
Teraz wracając do pierwszego pytania, to można albo wprost obliczyć liczbowo prawdopodobieństwa, albo porównać ze sobą dwa wyrażenia odpowiadające tym prawdopodobieństwom, żeby stwierdzić, że są one równe.
Podobnie możesz postąpić w pozostałych przypadkach - zawsze można obliczyć albo porównać. Np dla prównania prawdopdodbieństw wyrzucenia 15 lub 55 orłów wystarczy porównać wartoścci wyrażeń \(\displaystyle{ {60\choose 15}}\) oraz \(\displaystyle{ {60 \choose 55}}\).
Zobacz to na przykładzie np. wyrzucenia 2 razy szóstki w 5 rzutach. Dla takiego doświadczenia:
\(\displaystyle{ p= \frac {1}{6}}\)
\(\displaystyle{ q= \frac {5}{6}}\)
Zdarzeniem sprzyjającym jest np. taki wynik:
*, 6, *, 6, *
dla którego prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot}\)
Ale zdarzeniem sprzyjającym jest każdy inny wynik w którym będą dwie szóstki (na dowolnym miejscu) np. 6, *, 6 *, * | *, *, *, 6, 6 | itd.
Widzisz więc, że w wyliczanym prawdopodobieństwie – iloczynie będą zawsze dwa ułamki \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) i trzy ułamki \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\).
Pozostaje pytanie ile jest takich wszystkich wariantów w których na dwóch z pięciu miejsc będą szóstki (tak jakbyśmy wybierali 2 pozycje spośród 5). A takich możliwości wyboru jest przecież \(\displaystyle{ {n \choose k}}\)
I dlatego prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe:
\(\displaystyle{ P(A)={5\choose 2} \cdot \left( \frac {1}{6}\right) ^{2} \cdot \left( \frac {5}{6}\right) ^{3}}\)
Myślę, że teraz rozumiesz skąd wziął się taki wzór?
Zauważ też, że jeżeli p=q=0,5, to:
\(\displaystyle{ p^{k} \cdot q^{n-k} = p^{n}}\)
Teraz wracając do pierwszego pytania, to można albo wprost obliczyć liczbowo prawdopodobieństwa, albo porównać ze sobą dwa wyrażenia odpowiadające tym prawdopodobieństwom, żeby stwierdzić, że są one równe.
Podobnie możesz postąpić w pozostałych przypadkach - zawsze można obliczyć albo porównać. Np dla prównania prawdopdodbieństw wyrzucenia 15 lub 55 orłów wystarczy porównać wartoścci wyrażeń \(\displaystyle{ {60\choose 15}}\) oraz \(\displaystyle{ {60 \choose 55}}\).
oblicz prawdopodobienstwo
bardzo dziękuję, w książce było to strasznie zawile wytłumaczone, zawsze lepiej zrozumieć na przykładach a dział prawdopodobieństwa to moja zmora.
oblicz prawdopodobienstwo
Tak, jest równe.
Próbowałem to rozwinąć ale czas mi się skończył (ku nieszczęciu PHPBB3 i niestety tego forum). Szkoda czasu.
Próbowałem to rozwinąć ale czas mi się skończył (ku nieszczęciu PHPBB3 i niestety tego forum). Szkoda czasu.
oblicz prawdopodobienstwo
znaczy w odpowiedziach mam,że nie jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) tylko nie wiem jak to zapisać po prostu:)
I jeszcze powtarzam pytanie, co oznacza,że zdarzenie A jest niezależne od samego siebie?
I jeszcze powtarzam pytanie, co oznacza,że zdarzenie A jest niezależne od samego siebie?