\(\displaystyle{ P( X_{i}=0)=0,2}\)
\(\displaystyle{ P( X_{i}=1)=0,8}\)
\(\displaystyle{ S_{n}= \sum_{i=1}^{n} X _{i}}\)
Ile elem. żeby z praw. \(\displaystyle{ \frac{9}{10}}\)
Czyli mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ P( S_{n} \ge 50)=0,9}\)
Teraz musimy skorzystać z centralnego twierdzenia granicznego i niewiem co w tym momencie zrobić.
pozdr
Centralne twierdzenie graniczne
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 14 sty 2006, o 13:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Cieszyn
- Podziękował: 1 raz
Centralne twierdzenie graniczne
Moim zdaniem obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe rozkładu prawdopodobieństwa, równanie, które napisałeś, poddać standaryzacji, wyliczyć n.
Uzasadnić, że zrobiłeś tak, gdyż założyłeś, że suma tych pojedynczych rozkładów (na mocy CTG) jest rozkładem normalnym.
Uzasadnić, że zrobiłeś tak, gdyż założyłeś, że suma tych pojedynczych rozkładów (na mocy CTG) jest rozkładem normalnym.
-
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
Centralne twierdzenie graniczne
\(\displaystyle{ 0,9=P\left(\frac{1}{n}S_{n}\ge\frac{1}{n}50\right)=1-P\left(\frac{1}{n}S_{n}<\frac{1}{n}50\right)=1-P\left(\frac{\overline{X}_{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}<\frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}\right)\approx1-P\left(Z\le\frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}\right)=1-\Phi\left(\frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}\right)}\)
\(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}\right)=1-0,9=0,1}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}=\Phi^{-1}\left(0,1\right)=z_{0,1}}\)
\(\displaystyle{ E\left(\overline{X}_{n}\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E\left(X_{i}\right)=\frac{1}{n}\cdot n\cdot EX_{1}=EX_{1}=1\cdot0,8+0\cdot0,2=0,8}\)
\(\displaystyle{ Var\left(\overline{X}_{n}\right)=Var\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}}Var\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}Var\left(X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\cdot Var\left(X_{1}\right)=\frac{1}{n}\cdot Var\left(X_{1}\right)=\frac{1}{n}\left[\left(1^{2}-0,8\right)\cdot0,8+\left(1^{2}-0,8\right)\cdot0,8\right]}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\left[\left(1^{2}-0,8\right)^{2}\cdot0,8+\left(0^{2}-0,8\right)^{2}\cdot0,2\right]\overset{LUB}{=}\frac{1}{n}\left[E\left(X_{1}^{2}\right)+\left(E\left(X_{1}\right)\right)^{2}\right]=\frac{1}{n}\left[\left(1^{2}\cdot0,8+0^{2}\cdot0,2\right)+\left(0,8\right)^{2}\right]=\frac{1}{n}\left[0,8+\left(0,8\right)^{2}\right]=\frac{1,44}{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{50}{n}-0,8}{\sqrt{\frac{1,44}{n}}}=\Phi^{-1}\left(0,1\right)=z_{0,1}\text{-kwantyl rzedu 0,1 rozkladu standardowego normalnego}}\)
\(\displaystyle{ \frac{50}{n}-0,8=z_{0,1}\sqrt{\frac{1,44}{n}}}\)
\(\displaystyle{ 50-0,8n=z_{0,1}\sqrt{1,44n}}\)
\(\displaystyle{ z_{0,1}\sqrt{1,44n}+0,8n-50=0}\)-wystarczy rozwiazac to rownanie kwadratowe...-- 1 lutego 2010, 01:21 --inne:
159665.htm?hilit=centralne%20twierdzenie%20graniczne
132585.htm?hilit=centralne%20twierdzenie%20graniczne
post468972.htm?hilit=centralne%20twierdzenie%20graniczne#p468972
\(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}\right)=1-0,9=0,1}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}=\Phi^{-1}\left(0,1\right)=z_{0,1}}\)
\(\displaystyle{ E\left(\overline{X}_{n}\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E\left(X_{i}\right)=\frac{1}{n}\cdot n\cdot EX_{1}=EX_{1}=1\cdot0,8+0\cdot0,2=0,8}\)
\(\displaystyle{ Var\left(\overline{X}_{n}\right)=Var\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}}Var\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}Var\left(X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\cdot Var\left(X_{1}\right)=\frac{1}{n}\cdot Var\left(X_{1}\right)=\frac{1}{n}\left[\left(1^{2}-0,8\right)\cdot0,8+\left(1^{2}-0,8\right)\cdot0,8\right]}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\left[\left(1^{2}-0,8\right)^{2}\cdot0,8+\left(0^{2}-0,8\right)^{2}\cdot0,2\right]\overset{LUB}{=}\frac{1}{n}\left[E\left(X_{1}^{2}\right)+\left(E\left(X_{1}\right)\right)^{2}\right]=\frac{1}{n}\left[\left(1^{2}\cdot0,8+0^{2}\cdot0,2\right)+\left(0,8\right)^{2}\right]=\frac{1}{n}\left[0,8+\left(0,8\right)^{2}\right]=\frac{1,44}{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{50}{n}-0,8}{\sqrt{\frac{1,44}{n}}}=\Phi^{-1}\left(0,1\right)=z_{0,1}\text{-kwantyl rzedu 0,1 rozkladu standardowego normalnego}}\)
\(\displaystyle{ \frac{50}{n}-0,8=z_{0,1}\sqrt{\frac{1,44}{n}}}\)
\(\displaystyle{ 50-0,8n=z_{0,1}\sqrt{1,44n}}\)
\(\displaystyle{ z_{0,1}\sqrt{1,44n}+0,8n-50=0}\)-wystarczy rozwiazac to rownanie kwadratowe...-- 1 lutego 2010, 01:21 --inne:
159665.htm?hilit=centralne%20twierdzenie%20graniczne
132585.htm?hilit=centralne%20twierdzenie%20graniczne
post468972.htm?hilit=centralne%20twierdzenie%20graniczne#p468972
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 17 wrz 2010, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa