Centralne twierdzenie graniczne

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
chinka90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 27 sie 2009, o 00:34
Płeć: Kobieta

Centralne twierdzenie graniczne

Post autor: chinka90 »

\(\displaystyle{ P( X_{i}=0)=0,2}\)
\(\displaystyle{ P( X_{i}=1)=0,8}\)
\(\displaystyle{ S_{n}= \sum_{i=1}^{n} X _{i}}\)
Ile elem. żeby z praw. \(\displaystyle{ \frac{9}{10}}\)
Czyli mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ P( S_{n} \ge 50)=0,9}\)
Teraz musimy skorzystać z centralnego twierdzenia granicznego i niewiem co w tym momencie zrobić.

pozdr
corner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 14 sty 2006, o 13:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 1 raz

Centralne twierdzenie graniczne

Post autor: corner »

Moim zdaniem obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe rozkładu prawdopodobieństwa, równanie, które napisałeś, poddać standaryzacji, wyliczyć n.

Uzasadnić, że zrobiłeś tak, gdyż założyłeś, że suma tych pojedynczych rozkładów (na mocy CTG) jest rozkładem normalnym.
bstq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 67 razy

Centralne twierdzenie graniczne

Post autor: bstq »

\(\displaystyle{ 0,9=P\left(\frac{1}{n}S_{n}\ge\frac{1}{n}50\right)=1-P\left(\frac{1}{n}S_{n}<\frac{1}{n}50\right)=1-P\left(\frac{\overline{X}_{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}<\frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}\right)\approx1-P\left(Z\le\frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}\right)=1-\Phi\left(\frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}\right)}\)

\(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}\right)=1-0,9=0,1}\)

\(\displaystyle{ \frac{\frac{50}{n}-E\left(\overline{X}_{n}\right)}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{n}\right)}}=\Phi^{-1}\left(0,1\right)=z_{0,1}}\)

\(\displaystyle{ E\left(\overline{X}_{n}\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E\left(X_{i}\right)=\frac{1}{n}\cdot n\cdot EX_{1}=EX_{1}=1\cdot0,8+0\cdot0,2=0,8}\)

\(\displaystyle{ Var\left(\overline{X}_{n}\right)=Var\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}}Var\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}Var\left(X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\cdot Var\left(X_{1}\right)=\frac{1}{n}\cdot Var\left(X_{1}\right)=\frac{1}{n}\left[\left(1^{2}-0,8\right)\cdot0,8+\left(1^{2}-0,8\right)\cdot0,8\right]}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\left[\left(1^{2}-0,8\right)^{2}\cdot0,8+\left(0^{2}-0,8\right)^{2}\cdot0,2\right]\overset{LUB}{=}\frac{1}{n}\left[E\left(X_{1}^{2}\right)+\left(E\left(X_{1}\right)\right)^{2}\right]=\frac{1}{n}\left[\left(1^{2}\cdot0,8+0^{2}\cdot0,2\right)+\left(0,8\right)^{2}\right]=\frac{1}{n}\left[0,8+\left(0,8\right)^{2}\right]=\frac{1,44}{n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\frac{50}{n}-0,8}{\sqrt{\frac{1,44}{n}}}=\Phi^{-1}\left(0,1\right)=z_{0,1}\text{-kwantyl rzedu 0,1 rozkladu standardowego normalnego}}\)

\(\displaystyle{ \frac{50}{n}-0,8=z_{0,1}\sqrt{\frac{1,44}{n}}}\)

\(\displaystyle{ 50-0,8n=z_{0,1}\sqrt{1,44n}}\)

\(\displaystyle{ z_{0,1}\sqrt{1,44n}+0,8n-50=0}\)-wystarczy rozwiazac to rownanie kwadratowe...-- 1 lutego 2010, 01:21 --inne:
159665.htm?hilit=centralne%20twierdzenie%20graniczne
132585.htm?hilit=centralne%20twierdzenie%20graniczne
post468972.htm?hilit=centralne%20twierdzenie%20graniczne#p468972
nutcracker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 17 wrz 2010, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Centralne twierdzenie graniczne

Post autor: nutcracker »

czy stosowałeś tutaj twierdzenie lindberga levy'ego?
ODPOWIEDZ