Prosiłbym o podpowiedzi, ewentualnie rozwiązania. Podpunkt a) ma już rozwiązanie, ale czy nie dałoby się tego jakoś prościej {czyt. łopatologiczniej} zrobić żeby szary ludek mógł to zrozumieć, czy może prościej się już nie da...?
a) W celu zwiększenia niezawodności przyrządu, dubluje się go za pomocą \(\displaystyle{ n-1}\) pracujących niezależnie takich samych przyrządów o niezawodności \(\displaystyle{ p}\) każdy. Znaleźć niezawodność całego układu. Ile należy wziąć przyrządów, aby uzyskać niezawodność nie mniejszą niż \(\displaystyle{ 0,99}\)?
Odp:
Niech\(\displaystyle{ A_{i}}\) oznacza, że \(\displaystyle{ i}\)-ty przyrząd jest sprawny, \(\displaystyle{ i=1,2,...,n, P(A)=p}\) Niech\(\displaystyle{ A}\) oznacza, że cały układ jest sprawny. Układ jest sprawny, jeżeli co najmniej jeden przyrząd jest sprawny, czyli \(\displaystyle{ A= \bigcup_{i=1}^{n} A_{i}}\). Ponieważ sprawność jednego przyrządu nie wpływa na sprawność innego (*rozumiem że zaznaczają tu że są niezależne? a ciekawe jakby zależały od siebie?), więc
\(\displaystyle{ P(A)=P( \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} ) = 1 - P( (\bigcup_{i=1}^{n} A_{i})') =}\) {uwaga! ten apostrof \(\displaystyle{ (...)'}\) - oznacza dopełnienie/zdarzenie przeciwne}
\(\displaystyle{ =1 - P(( A_{1} )' \cap ( A_{2} )' \cap .... \cap ( A_{n} )') = 1 - \prod_{i=1}^{n} P( (A_{i})' ) = 1 - (1-p)^{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ P(( A_{i} )') = 1-p}\)
Należy wziąć takie \(\displaystyle{ n}\), aby \(\displaystyle{ P(A) \ge 0.99,}\) czyli \(\displaystyle{ 1- (1-p)_{n} \ge 0.99}\). Stąd \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną taką, że :
\(\displaystyle{ n \ge \frac{ln0.01}{ln(1-p)}}\)
b) Niech \(\displaystyle{ P_{1}}\) i \(\displaystyle{ P_{2}}\) będą prawdopodobieństwami określonymi na σ-algebrze φ podzbiorów zbioru Ω. Udowodnić, że funkcja:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3} P_{1}(A) + \frac{2}{3} P_{2}(A)}\)
spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa (Kołmogorowa). {Trywialne czy może podchwytliwe?}