W urnie są dwie kule białe i dwie kule czarne. Losujemy z urny jedną kulę zwracamy ją do urny i dokładamy jeszcze dwie kuletego samego koloru co wylosowana kula.
Niech \(\displaystyle{ X_n}\) oznacza liczbę kul białych po n krokach n=0,1,2,.........
Dobrać ciąg liczbowy tak żeby ciąg był martyngałem, gdzie
\(\displaystyle{ Y_n=a_n \cdot X_n}\)
oraz filtracja naturalna ciągu \(\displaystyle{ X_n}\)
Obliczyłem że \(\displaystyle{ P(X_n=2(k+1))=\frac{1}{n+1}}\) dla k=0,1,2,....,n
Łatwo to zauważyć, trzeba wypisać dla n=0 n=1 n=2 wtedy zauważymy prawidłowść
Teraz nie wiem jak ruszyć
\(\displaystyle{ EY_n=E(a_n \cdot X_n|(X_1,....,X_{n-1}))}\) jak rozbić \(\displaystyle{ X_n}\) na \(\displaystyle{ X_{n-1}}\)