Mianowicie mam takie zadanie:
Dana jest funkcja gęstości:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} 0,2(x+ 2y) gdy x \subset <0,1>,y \subset <0,2> \\ 0 dla pozostałych (x,y) \end{cases}}\)
a) wyznaczyć funkcję regresji I rodzaju zmiennej X względem Y i odwrotnie.
b) zaznaczyć na wykresie obie funkcje
Na początek X względem Y
Muszę wyliczyć więc warunkową wartość oczekiwaną z warunkowej funkcji gęstości
a żeby policzyć warunkową funkcję gęstości muszę policzyć brzegową Y
brzegowa wyszła:
\(\displaystyle{ f _{y} (y) = 0,1 + 2y}\)
Warunkowa gęstość wyszła mi:
\(\displaystyle{ f(x|y) = \frac{0,2(x+2y)}{0,1+2y}}\)
stąd całka w warunkowej wartości oczekiwanej wynosi:
\(\displaystyle{ E(X|Y=y) = \int_{0}^{1} x* \frac{0,2(x+2y)}{0,1+2y} = 0,2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2} +2xy}{0,1+2y}}\)
i tu utknęłam jeśli się nie pomyliłam nigdzie wcześniej to może mi ktoś powiedzieć jak policzyć taką całkę?
Przypuszczam ze to całki z funkcji wymiernych ale jak połączyć wzory... ? jak można to skrócić? Jest jakiś szybki sposób. po prostu nie umiem liczyć takiej całki :/
Byłabym wdzięczna za pomoc
EDIT:
chyba już wiem... ciągnąc dalej tą całkę bo rpzecież y też jest stała to mam:
\(\displaystyle{ \frac{0,2}{0,1+2y} \int_{0}^{1} x^{2} +2xy =}\) i to po wyliczneiu już zwykłym wychdozi:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{15} + 0,2y }{0,1 + 2y}}\)
może tlyko ktoś powiedzieć czy dobrze?-- 11 stycznia 2010, 16:05 --i analogicnzie Y wzgledem X wyszła mi całka:
\(\displaystyle{ E(Y|X=x) = \int_{0}^{2} \frac{xy+2y ^{2} }{2x+4} = ... = \frac{2x + \frac{16}{3} }{2x+4}}\)
dobrze ???