rozkład wykładniczy

[Ugonio]

Zmienna X ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\)=1.
Zmienna losowa Y=3X-5
1. wyznacz rozkład zmiennej losowej Y (funkcję gęstości)
2. znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y

[max]

1.
\(\displaystyle{ Y\le t \iff X\le \frac{t - 5}{3}}\)

Zatem dystrybuanta \(\displaystyle{ Y}\) to:
\(\displaystyle{ F_{Y}(t) = P(Y \le t) = P(X\le \tfrac{t-5}{3}) = \int_{\infty}^{\frac{t-5}{3}}f_{X}(x)dx}\)
gdzie \(\displaystyle{ f_{X}}\) to znana z treści zadania funkcja gęstości \(\displaystyle{ X.}\)
Różniczkując po \(\displaystyle{ t}\) dostajemy funkcję gęstości:
\(\displaystyle{ f_{Y}(t) = F'_{Y}(t) = \tfrac{1}{3}f_{X}(\tfrac{t-5}{3}).}\)
Dalej wystarczy podstawić do wzoru na \(\displaystyle{ f_{X}.}\)

2. Skoro znamy już \(\displaystyle{ f_{Y},}\) to wystarczy skorzystać ze wzorów
\(\displaystyle{ EX = \int_{-\infty}^{\infty}xf_{Y}(x)dx\\
\text{Var}X = \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f_{Y}(x)dx - (EX)^{2}}\)
przyda się wzór na całkowanie przez części.

[Ugonio]

1.
\(\displaystyle{ Y\le t \iff X\le \frac{t - 5}{3}}\)

Zatem dystrybuanta \(\displaystyle{ Y}\) to:
\(\displaystyle{ F_{Y}(t) = P(Y \le t) = P(X\le \tfrac{t-5}{3}) = \int_{\infty}^{\frac{t-5}{3}}f_{X}(x)dx}\)
gdzie \(\displaystyle{ f_{X}}\) to znana z treści zadania funkcja gęstości \(\displaystyle{ X.}\)
Różniczkując po \(\displaystyle{ t}\) dostajemy funkcję gęstości:
\(\displaystyle{ f_{Y}(t) = F'_{Y}(t) = \tfrac{1}{3}f_{X}(\tfrac{t-5}{3}).}\)
Dalej wystarczy podstawić do wzoru na \(\displaystyle{ f_{X}.}\)

2. Skoro znamy już \(\displaystyle{ f_{Y},}\) to wystarczy skorzystać ze wzorów
\(\displaystyle{ EX = \int_{-\infty}^{\infty}xf_{Y}(x)dx\\
\text{Var}X = \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f_{Y}(x)dx - (EX)^{2}}\)
przyda się wzór na całkowanie przez części.

Dziękuję serdecznie!
Mam jeszcze pytanie: czy nie da się jakoś wykorzystać wzorów, które podaje Wikipedia, tzn:
Wartość oczekiwana = \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\)
Wariancja = \(\displaystyle{ \lambda^{-2}}\)
?

[max]

No to jak to się wie, to od razu można, z własności wartości oczekiwanej:
\(\displaystyle{ EY = E(3X - 5) = 3EX - 5\\
\text{Var}(Y) = EY^{2} - (EY)^{2} = E(3X -5)^{2} + (E(3X - 5))^{2} =\\
= E(9X^{2} - 30X + 25) - (3EX - 5)^{2} = 9EX^{2} - 9(EX)^{2} = 9\text{Var}(X)}\)