Wartośc oczekiwana stosunku odcinków, losowanie kart.

[yaho888]

Witam, mam problem z dwoma zadaniami:
1)
W pewnej grze z tali 52 kart losujemy 2. Wygrana występuje kiedy obie są asami. Jakie jest prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia P(wygrana|co najmniej jedna karta jest kierem)

Niestety wynik mam inny niż w odpowiedziach

2) Na odcinku (0,1) losujemy punkt z rozkładem jednostajnym. W ten sposób odcinek zostanie podzielony na dwa odcinki (prawie na pewno krótszy i dłuższy ). Ile wynosi wartość oczekiwana stosunku odcinka krótszego do długości odcinka dłuższego?

Z góry dzięki za pomoc.

[max]

1.
Przyjmuję, że kolejność losowania nie ma znaczenia.

\(\displaystyle{ A}\) - wylosowaliśmy co najmniej jednego kiera,
\(\displaystyle{ B}\) - wylosowaliśmy dwa asy.

\(\displaystyle{ P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{3}{{52\choose 2}}}{\frac{{4\choose 2}}{{52\choose 2}}} = \frac{1}{2}.}\)

2.
Oznaczmy losowany punkt przez \(\displaystyle{ X}\) badany stosunek długości przez \(\displaystyle{ \xi,}\) oraz jego gęstość przez \(\displaystyle{ f_{\xi}}\) i dystrybuantę przez \(\displaystyle{ F_{\xi}.}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ F_{\xi}(t) = P(\xi\le t) = P(X\le \tfrac{1}{2}\ \wedge\ \tfrac{X}{1-X}\le t) + P(\tfrac{1}{2}\le X\ \wedge\ \tfrac{1 - X}{X}\ge t) =\\
=\begin{cases} P(X\le \tfrac{t}{1 + t}) + P(X \ge \tfrac{1}{1 + t}), \ t \in [0,1]\\
1, \ t> 1\\
0, t < 0\end{cases}}\)

Zatem dla \(\displaystyle{ f_{\xi}(t) = 0,}\) dla \(\displaystyle{ t \not\in [0,1].}\)
Natomiast dla \(\displaystyle{ t\in [0,1]}\)
\(\displaystyle{ F_{\xi}(t) = P(X\le \tfrac{t}{1 + t}) + P(X \ge \tfrac{1}{1 + t}) = F_{X}(\tfrac{t}{1 + t}) + F_{X}(\tfrac{1}{t+1}).}\)
Różniczkując dostajemy \(\displaystyle{ f_{\xi}}\) w zależności od znanej nam gęstości \(\displaystyle{ f_{X}}\) i pozostaje scałkować:
\(\displaystyle{ EX = \int_{-\infty}^{\infty}xf_{\xi}(x)dx.}\)

[yaho888]

Dzięki za zainteresowanie
Ale chcę wyjaśni kilka wątpliwości:

Ad 1.

1.
Przyjmuję, że kolejność losowania nie ma znaczenia.

\(\displaystyle{ A}\) - wylosowaliśmy co najmniej jednego kiera,
\(\displaystyle{ B}\) - wylosowaliśmy dwa asy.

\(\displaystyle{ P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{3}{{52\choose 2}}}{\frac{{4\choose 2}}{{52\choose 2}}} = \frac{1}{2}.}\)

Tutaj trochę pomyliłeś : \(\displaystyle{ P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{3}{{52\choose 2}}}{\frac{ {13\choose 1}{39\choose 1} + {13\choose 2} }{{52\choose 2}}} = \frac{3}{585}.}\)
Problem jest taki, że w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{4}{385}}\) a ja nie wiem czemu.

Ad 2.
Dzięki za 2 zadanie, nie zrobiłby tego w taki sposób, ale jeszcze zaznaczę błąd w końcówce:

Natomiast dla \(\displaystyle{ t\in [0,1]}\)
\(\displaystyle{ F_{\xi}(t) = P(X\le \tfrac{t}{1 + t}) + P(X \ge \tfrac{1}{1 + t}) = F_{X}(\tfrac{t}{1 + t}) + F_{X}(\tfrac{1}{t+1}).}\)

Powinno być: \(\displaystyle{ F_{\xi}(t) = P(X\le \tfrac{t}{1 + t}) + P(X \ge \tfrac{1}{1 + t}) = F_{X}(\tfrac{t}{1 + t}) +1- F_{X}(\tfrac{1}{t+1}).}\) Wtedy wszystko wychodzi

[sathan]

Model probabilistyczny zdarzenie jest klasyczny.

Moc zbioru wyników wynosi \(\displaystyle{ {52 \choose 2}}\)

Prawdopodobieństwo każdego wyniku wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{ {52 \choose 2} }}\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia obie karty będą asami wynosi \(\displaystyle{ \frac{ {4 \choose 2} }{ {52 \choose 2} }}\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że conajmniej jedna z wylosowanych kart będzie kierem wynosi
\(\displaystyle{ \frac{ {36 \choose 2} }{ {52 \choose 2} }}\)


Zatem prawdopodobieństwo warunkowe jest równe-- 10 sty 2010, o 06:46 --Przepraszam nastąpiły problemy uniemożliwiające dalszą edycje.

[max]

Sorki, policzyłem nie to co trzeba.
Wydaje mi się, że dobrze liczysz 1., a w książkach czasem zdarzają się błędy drukarskie