Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zm. los. Y=sX
\(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 0&\text{ dla } x\le0\\\frac{2}{a^{2}}x&\text{ dla } 0<x\le a \\0&\text{ dla } x>a \end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ F_{x}(\frac{x^{2}}{a^{2}})= \int_{-\infty}^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}f_{x}(\frac{y}{s})}\)
nie wiem co dalej... czy ktoś mi pomoże ?
gestosc prawdopodobienstwa
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
gestosc prawdopodobienstwa
Domyślam się, że \(\displaystyle{ f}\) jest gęstością prawdopodobieństwa dla zmiennej \(\displaystyle{ X}\)
Jeśli \(\displaystyle{ s> 0}\) to gęstość dla \(\displaystyle{ Y}\) wyznaczamy podobnie jak tu - najpierw wyrażamy dystrybuantę \(\displaystyle{ Y}\) w zależności od dystrybuanty \(\displaystyle{ X,}\) a następnie poprzez zamianę zmiennych w otrzymanej całce dostajemy przedstawienie dystrybuanty \(\displaystyle{ Y}\) jako całki od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ x}\) z jakiejś funkcji. Ta funkcja jest gęstością \(\displaystyle{ Y.}\)
\(\displaystyle{ Y \le x\iff X \le \tfrac{x}{s}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ F_{Y}(x) = F_{X}(\tfrac{x}{s}) = \int_{-\infty}^{\frac{x}{s}}f(t)dt \stackrel{u = st}{=} \int_{-\infty}^{x}\tfrac{1}{s}f(\tfrac{u}{s})du,}\)
zatem szukana gęstość to \(\displaystyle{ \tfrac{1}{s}f(\tfrac{u}{s})}\)
Jeśli \(\displaystyle{ s< 0}\) to:
\(\displaystyle{ Y \le x\iff X \ge \tfrac{x}{s}}\)
Czyli \(\displaystyle{ F_{Y}(x) = 1 - F_{X}(\tfrac{x}{s}) = \int_{\frac{x}{s}}^{-\infty}f(t)dt \stackrel{u =- st}{=} \int_{-\infty}^{-x}-\tfrac{1}{s}f(\tfrac{-u}{s})du.}\)
Żeby policzyć gęstość \(\displaystyle{ F_{Y}(x)}\) korzystamy z faktu, że \(\displaystyle{ x\mapsto \int_{-\infty}^{-x}-\tfrac{1}{s}f(\tfrac{u}{s})du}\) jest różniczkowalna prawie wszędzie (dokładniej - dla \(\displaystyle{ x\neq a,}\) bo poza tym punktem funkcja podcałkowa jest ciągła). W punktach różniczkowalności gęstość wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ f_{Y}(x) = F'_{Y}(x) = -\left(-\tfrac{1}{s}f(\tfrac{-(-x)}{s})\right)}\)
w pozostałych punktach (tzn dla \(\displaystyle{ x = a}\)) możemy ją zadać jakkolwiek.
Jeśli \(\displaystyle{ s> 0}\) to gęstość dla \(\displaystyle{ Y}\) wyznaczamy podobnie jak tu - najpierw wyrażamy dystrybuantę \(\displaystyle{ Y}\) w zależności od dystrybuanty \(\displaystyle{ X,}\) a następnie poprzez zamianę zmiennych w otrzymanej całce dostajemy przedstawienie dystrybuanty \(\displaystyle{ Y}\) jako całki od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ x}\) z jakiejś funkcji. Ta funkcja jest gęstością \(\displaystyle{ Y.}\)
\(\displaystyle{ Y \le x\iff X \le \tfrac{x}{s}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ F_{Y}(x) = F_{X}(\tfrac{x}{s}) = \int_{-\infty}^{\frac{x}{s}}f(t)dt \stackrel{u = st}{=} \int_{-\infty}^{x}\tfrac{1}{s}f(\tfrac{u}{s})du,}\)
zatem szukana gęstość to \(\displaystyle{ \tfrac{1}{s}f(\tfrac{u}{s})}\)
Jeśli \(\displaystyle{ s< 0}\) to:
\(\displaystyle{ Y \le x\iff X \ge \tfrac{x}{s}}\)
Czyli \(\displaystyle{ F_{Y}(x) = 1 - F_{X}(\tfrac{x}{s}) = \int_{\frac{x}{s}}^{-\infty}f(t)dt \stackrel{u =- st}{=} \int_{-\infty}^{-x}-\tfrac{1}{s}f(\tfrac{-u}{s})du.}\)
Żeby policzyć gęstość \(\displaystyle{ F_{Y}(x)}\) korzystamy z faktu, że \(\displaystyle{ x\mapsto \int_{-\infty}^{-x}-\tfrac{1}{s}f(\tfrac{u}{s})du}\) jest różniczkowalna prawie wszędzie (dokładniej - dla \(\displaystyle{ x\neq a,}\) bo poza tym punktem funkcja podcałkowa jest ciągła). W punktach różniczkowalności gęstość wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ f_{Y}(x) = F'_{Y}(x) = -\left(-\tfrac{1}{s}f(\tfrac{-(-x)}{s})\right)}\)
w pozostałych punktach (tzn dla \(\displaystyle{ x = a}\)) możemy ją zadać jakkolwiek.
-
franek89
- Użytkownik
- Posty: 310
- Rejestracja: 28 lut 2009, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 110 razy
gestosc prawdopodobienstwa
Mam pytanie, bo w odp.:
\(\displaystyle{ g(y)=\left\{\begin{array}{l} 0&\text{ dla } y<0\\ \frac{2y}{a^{2}s^{2}}&\text{ dla }0<y\le as\\0&\text{ dla }y>as \end{array}\right.}\)
czy szukana gęstość oznacza, że każde wyrażenie f(x) trzeba wymnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{1}{s}}\)
Skąd w odp. podano \(\displaystyle{ s^{2}}\) ? i czy gdyby w trzecim wierszu w f(x) było jakieś wyrażenie, to czy postąpiłbym tak jak powyżej ale musiałbym dodać jeszcze jedną całkę granice od a do x ?
\(\displaystyle{ g(y)=\left\{\begin{array}{l} 0&\text{ dla } y<0\\ \frac{2y}{a^{2}s^{2}}&\text{ dla }0<y\le as\\0&\text{ dla }y>as \end{array}\right.}\)
czy szukana gęstość oznacza, że każde wyrażenie f(x) trzeba wymnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{1}{s}}\)
Skąd w odp. podano \(\displaystyle{ s^{2}}\) ? i czy gdyby w trzecim wierszu w f(x) było jakieś wyrażenie, to czy postąpiłbym tak jak powyżej ale musiałbym dodać jeszcze jedną całkę granice od a do x ?
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
gestosc prawdopodobienstwa
\(\displaystyle{ g(y) = \tfrac{1}{s}f(\tfrac{y}{s}),}\) więc wszystko się zgadza, bo dla \(\displaystyle{ y \in (0, as]}\) mamy \(\displaystyle{ \tfrac{1}{s}f(\tfrac{y}{s}) = \tfrac{1}{s}\cdot \tfrac{2}{a^{2}}\cdot\tfrac{y}{s} = \tfrac{2y}{a^{2}s^{2}}.}\)
Gdyby w trzecim wierszu w \(\displaystyle{ f(x)}\) było coś niezerowego, to trzeba by było wziąć to pod uwagę obliczając \(\displaystyle{ \tfrac{1}{s}f(\tfrac{y}{s}).}\)
Gdyby w trzecim wierszu w \(\displaystyle{ f(x)}\) było coś niezerowego, to trzeba by było wziąć to pod uwagę obliczając \(\displaystyle{ \tfrac{1}{s}f(\tfrac{y}{s}).}\)