Rozkład Poissona

[agatawisniewska111]

Sieć stacji benzynowych ma 200 stacji oraz liczba klientów w danym dniu ma rozkład Poissona z lambdą = 100. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w danym dniu będzie mniej niż 18 tysięcy klientów na wszystkich stacjach razem.

[max]

Rozumiem, że to liczba klientów na dowolnej ustalonej stacji ma rozkład Poissona z \(\displaystyle{ \lambda = 100.}\)
Niech \(\displaystyle{ X_{i}}\) oznacza liczbę klientów na i-tej stacji.
Szukamy
\(\displaystyle{ P\left(\sum_{i=1}^{200}X_{i} < 18000\right)}\)

Korzystając z faktu, iż suma niezależnych zmiennych \(\displaystyle{ X_{i}}\) o rozkładach Poissona o parametrach \(\displaystyle{ \lambda_{i}}\) ma rozkład Poissona o parametrze równym \(\displaystyle{ \sum_{i}\lambda_{i}}\) (u nas \(\displaystyle{ \lambda_{i} =100, \ i=1,\ldots, 200}\)) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ P\left(\sum_{i=1}^{200}X_{i} < 18000\right) = \sum_{i=0}^{17999}\frac{(200\cdot 100)^{k}}{k!}e^{-200\cdot 100}}\)