ex i wariancja

[franek89]

Obliczyć średnią i wariancję:
\(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{1}{2^{k}}, k=1,2 ...}\)
Średnią obliczyłem. Wykorzystałem wzór na sumę geometrycznego ciągu.
\(\displaystyle{ EX=(\sum_{k=1}^{\infty} x^{k})'=\sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1}=(\frac{x}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ EX=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}k(\frac{1}{2})^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ EX=\frac{1}{2}*\frac{1}{(1-\frac{1}{2})^{2}}=2}\)

Wyszło mi 2 ale z wariancją mam problem. Powinno wyjść też 2... Pomoże ktoś?

[max]

Można podobnie
\(\displaystyle{ \text{Var}(X) = EX^{2} - (EX)^{2}}\)
wartość \(\displaystyle{ EX}\) znamy, wystarczy więc policzyć jeszcze:
\(\displaystyle{ EX^{2} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{2}}{2^{k}} =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k(k+1)}{2^{k-1}} - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^{k}}}\)
Ale \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^{k}} = EX}\) a ponadto dla \(\displaystyle{ x\in (-1,1)}\) jest:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}k(k+1)x^{k-1} = \left\left(\sum_{k=1}^{\infty}(k+1)x^{k}\right)' = \left(\sum_{k=1}^{\infty}x^{k+1}\right)^{(2)}}\)

[franek89]

A czy mógłbyś mi napisać ile wynosi suma ciągu geometrycznego... dla wyrażenia (2)... PROSZĘ...

[max]

Chodzi Ci o to:
\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=1}^{\infty}x^{k+1}\right)^{(2)} = \left(\frac{x^{2}}{1-x}\right)^{(2)} = \left(\left(\frac{x^{2}}{1-x}\right)'\right)' = \ldots}\)
?

[franek89]

dzięki za pomoc:)