gestosc prawdopodobienstwa

[franek89]

Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f_{y}(y)}\) zmiennej losowej Y=2X, jeśli gęstością \(\displaystyle{ f_{x}(x)}\) zmiennej losowej X jest:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0\ dla\ x<1 \\ \frac{1}{2}\ dla\ 1\le x\le 3 \\ 0\ dla\ x>3 \end{array}\right.}\)

Jak to zrobić?

[max]

Mamy:
\(\displaystyle{ Y \le x \iff X\le \tfrac{1}{2}x}\)

Stąd \(\displaystyle{ F_{Y}(x) = P(Y\le x) = P(X \le \tfrac{1}{2}x) = F_{X}(\tfrac{1}{2}x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ F_{X}}\) oznacza dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X.}\)

Zatem ponieważ:
\(\displaystyle{ F_{Y}(x) = F_{X}(\tfrac{1}{2}x) = \int_{-\infty}^{\tfrac{1}{2}x}f_{X}(y)dy \stackrel{t= 2y}= \int_{-\infty}^{x}\tfrac{1}{2}f_{X}(\tfrac{1}{2}t)dt}\)
to \(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \tfrac{1}{2}f_{X}(\tfrac{1}{2}y)}\)

[franek89]

We wcześniejszym poście zadałem takie pytanie, bo tutaj w odp. podano:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0&\text{ dla }y<2 \\ \frac{1}{4}&\text{ dla }2<=y<=6\\0&\text{ dla }y>6\end{array}\right.}\)

czy tutaj powinno być:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0&\text{ dla }y<2 \\ \frac{1}{8}y&\text{ dla }2<=y<=6\\0&\text{ dla }y>6\end{array}\right.}\)

[max]

Pierwsza odpowiedź jest poprawna, bo dla \(\displaystyle{ x\in [2,6]}\) jest \(\displaystyle{ \tfrac{1}{2}x \in [1,3]}\) czyli \(\displaystyle{ f(\tfrac{1}{2}x) = \tfrac{1}{2}}\) a więc \(\displaystyle{ \tfrac{1}{2}f(\tfrac{1}{2}x) = \tfrac{1}{4}}\)

[franek89]

dzięki za pomoc:)