Matematyka.pl

Prawdopodobieństwo tego, że statystyczny student nie jest przygotowany do ćwiczeń, jest \(\displaystyle{ p=1/3}\). Prowadzący ćwiczenia wybiera przypadkowo 4 osoby. Niech X oznacza liczbę osób spośród wybranych, które nie są przygotowane do ćwiczeń. Znaleźć P(X=3).

Która wersja jest poprawna i dlaczego:
1)
\(\displaystyle{ P(X=3)= {4\choose 3}*\frac{1}{3}*(\frac{2}{3})^{3}=\frac{32}{81}}\)
czy
2)
\(\displaystyle{ P(X=3)= {4\choose 3}*(\frac{1}{3})^{3}*\frac{2}{3})=\frac{8}{81}}\)

\(\displaystyle{ n=4}\) - liczba prób w schemacie Bernoulliego
\(\displaystyle{ p=\frac{1}{3}}\) - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie
zgodnie ze wzorem
\(\displaystyle{ P(X=k)={n\choose k}\cdot \left(p\right)^k\cdot \left(1-p\right)^{n-k}}\)
gdzie \(\displaystyle{ n}\)- liczba prób,\(\displaystyle{ k}\) - liczba sukcesów, \(\displaystyle{ p}\) - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie
mamy
\(\displaystyle{ P(X=3)={4\choose 3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1}\)

Zadałam te pytanie, bo w książce podano odpowiedź 32/81, ale już wiem, że na pewno się pomylili:) dzięki:)