Rozkład wykładniczy

[PublicEnemy]

Czas oczekiwania na autobus linii A jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną 10 minut. Czas oczekiwania na autobus linii B jest zmienną losową o
rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną 6 minut. Autobusy kursują niezależnie od siebie, czyli czas oczekiwania na jeden autobus nie zależy od czasu oczekiwania na drugi autobus.
Osoba dojeżdża do pracy autobusami A, B. Obliczyć ppb, że osoba:
a) Traci kwartalnie na czekanie na autobus B mniej niż 605 minut, a na autobus A więcej niż 910 minut,
b) Średnio dziennie (w kwartale) traci więcej niż 9 minut na czekanie na autobus A,
c) Jaki czas zarezerwować na czekanie, aby z ppb mniejszym niż 0,01 zdarzyły się najwyżej trzy spóźnienia w kwartale (tzn. czas oczekiwania przekroczył zaplanowany czas)

Z góry dzięki za pomoc

[max]

Dla uproszczenia przyjmijmy, że w kwartale jest \(\displaystyle{ 80}\) dni roboczych

a)Interesuje nas prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P = P\left(\sum_{i=1}^{80}X_{i} < 605 \wedge \sum_{i=1}^{80}Y_{i} > 910\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ X_{i}, Y_{i}}\) oznaczają odpowiednio czasy oczekiwania i-tego dnia na autobusy \(\displaystyle{ A,B.}\)
Możemy założyć, że zmienne \(\displaystyle{ X_{i},Y_{j}}\) są parami niezależne, w szczególności zmienne \(\displaystyle{ \sum_{i}X_{i}, \sum_{i}Y_{i}}\) są niezależne.
Z niezależności mamy:
\(\displaystyle{ P= P\left(\sum_{i=1}^{80}X_{i} < 605\right)\cdot P\left(\sum_{i=1}^{80}Y_{i} > 910\right)}\)

Suma n zmiennych niezależnych o rozkładzie wykładniczym o tym samym parametrze \(\displaystyle{ \lambda > 0}\) ma n-ty rozkład Erlanga o parametrze \(\displaystyle{ \lambda,}\) którego gęstość wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ f_{n}(x) = \begin{cases}\frac{\lambda(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda x}, x \ge 0,\\ 0, x < 0\end{cases}.}\) U nas \(\displaystyle{ n = 80}\) oraz odpowiednio \(\displaystyle{ \lambda = 10, 6}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ P\left(\sum_{i=1}^{80}X_{i} \le 605\right) = \int_{0}^{605}\frac{10(10 x)^{80-1}}{(80-1)!}e^{-10x}dx =\ldots}\)
oraz
\(\displaystyle{ P\left(\sum_{i=1}^{80}Y_{i} > 910\right) = \int_{910}^{\infty}\frac{6(6 x)^{80-1}}{(80-1)!}e^{-6 x}dx =\ldots}\)

b) Liczymy
\(\displaystyle{ P\left(\frac{\sum_{i=1}^{80}X_{i}}{80} > 9\right) = P\left(\sum_{i=1}^{80}X_{i} > 720\right) = \int_{720}^{\infty}\frac{10(10 x)^{80-1}}{(80-1)!}e^{-10x}dx =\ldots}\)

c) Powiedzmy, że chcemy dziennie czekać \(\displaystyle{ x}\) minut, gdzie \(\displaystyle{ x > 0.}\)
Jeśli dobrze interpretuję treść zadania, to chcemy też, żeby było
\(\displaystyle{ P\left(\# \{i\in \{1,\ldots, 80\} \ : \ X_{i}+Y_{i} > x\}> 3\right) < 0,01}\)
gdzie przez \(\displaystyle{ P\left(\# \{i\in \{1,\ldots, 80\} \ : \ X_{i} > x\}> 3\right)}\) rozumiemy prawdopodobieństwo, że w 80 kolejnych dniach więcej niż 3 razy będziemy czekać łącznie na oba autobusy więcej niż \(\displaystyle{ x}\) minut.
Mamy:
\(\displaystyle{ P\left(\# \{i\in \{1,\ldots, 80\} \ : \ X_{i} + Y_{i} > x\}> 3\right) = \\
=1 - \sum_{k=1}^{3}P\left(\# \{i\in \{1,\ldots, 80\} \ : \ X_{i} > x\}=k\right)}\)
Dalej ze schematu Bernoullego:
\(\displaystyle{ P\left(\# \{i\in \{1,\ldots, 80\} \ : \ X_{i} + Y_{i} > x\}=k\right) = \\
{80\choose k}(P(X_{1} + Y_{1} > x))^{k}(P(X_{1} + Y_{1}\le x))^{80-k}.}\)

Rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X_{1} + Y_{1}}\) liczymy poprzez splot:
\(\displaystyle{ P(X_{1} + Y_{1}\le x) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{\infty}f_{X_{1}}(u - t)f_{Y_{1}}(t)dtdu}\)
gdzie \(\displaystyle{ f_{X_{1}},}\) to gęstość zmiennej \(\displaystyle{ f_{X_{1}},}\) w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ f_{X_{1}}(x) = \begin{cases}10e^{-10x}, \ x \ge 0\\ 0,\ x < 0,\end{cases}\\
f_{Y_{1}}(x) = \begin{cases}6e^{-6x}, \ x \ge 0\\ 0,\ x < 0,\end{cases}}\)

Dalej wystarczy rozwiązać otrzymaną nierówność względem \(\displaystyle{ x.}\)