Gra w kości
-
Qbee
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 27 gru 2009, o 21:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 1 raz
Gra w kości
Gra z pięcioma kościami, wyrzucenie "jedynki" lub "dwójki" daje nam zwycięstwo.Wyrzucenie 3 takich samych liczb (np. trzy "piątki") również daje nam zwycięstwo. Jeśli rzucami pięcioma kościami to jakie jest prawdopodobieństwo przegranej?
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Gra w kości
wprowadźmy zdarzenia:
\(\displaystyle{ \Omega}\) - zbiór wszystkich możliwych wyników rzutu pięcioma kostkami, \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} =6^{5}}\)
A- wyrzucono "jedynkę" (co najmniej jedną); \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=6^{5}-5^{5}}\) (bo dla zdarzenia A' mamy \(\displaystyle{ 5^{5}}\) możliwości takiego wyboru liczby oczek na kostkach, żeby na żadnej nie było jedynki)
B- wyrzucono "dwójkę" (co najmniej jedną); analogicznie \(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}=6^{5}-5^{5}}\)
C- wyrzucono trzy takie same liczby; \(\displaystyle{ \overline{\overline{C}} ={5 \choose 3} \cdot 6^{3}}\) (najpierw na sześć sposobów można wybrać, jaka liczba zostanie wyrzucona potrójnie, potem ze zbioru 5 kości wybieramy te trzy, na których pojawi się ta liczba, a na koniec na \(\displaystyle{ 6^{2}}\) sposobów możemy wybrać liczbę wyrzuconą na pozostałych dwóch kościach)
Interesuje nas \(\displaystyle{ P( A \cup B \cup C )}\). Otóż:
\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A \cap B}} =5 \cdot 4 \cdot 6^{3}}\) (wybieram odpowiednio na 5 i na 4 sposoby te kości, na których będą jedynka i dwójka, na \(\displaystyle{ 6^{3}}\) sposobów wybieram liczby widoczne na pozostałych kościach)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A \cap C}}=6 \cdot 5 \cdot {4 \choose 3}+{5 \choose 3} \cdot 6^{2}}\) (tu albo: wybieram na 5 sposobów kość z jedynką, na \(\displaystyle{ {4 \choose 3}}\) sposoby 3 kości, na których będzie się powtarzać liczba - nie jedynka - i na sześć sposobów liczbę widoczną na pozostałej kości, albo: wybieram na \(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\) sposoby trzy kości, na których pojawi się jedynka, a na \(\displaystyle{ 6^{2}}\) sposobów liczby widoczne na pozostałych kościach)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{B \cap C}} =6 \cdot 5 \cdot {4 \choose 3}+{5 \choose 3} \cdot 6^{2}}\) (analogicznie)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A \cap B \cap C}} = 5 \cdot 4 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4}\)
(albo: wybieram na 5 sposobów kość, na której będzie 1, na 4 sposoby kość z dwójką i na 4 sposoby wartość powtarzającą się na 3 pozostałych kościach - nie jedynkę i nie dwójkę - albo: na 5 sposobów wybieram kość z jedynką i przyjmuję, że co najmniej trzy razy powtórzy się dwójka, więc na 6 sposobów wybieram wartość na pozostałej kości i na 4 sposoby wybieram, która to będzie kość, albo: (i tu to samo co przed chwilą, tylko założenie, że trzy razy powtórzy się jedynka, a nie dwójka))
Z tych danych możesz już obliczyć wszystkie potrzebne do wzoru prawdopodobieństwa. Na koniec obliczasz \(\displaystyle{ P((A \cup B \cup C)')}\) jako \(\displaystyle{ 1-P(A \cup B \cup C)}\).
\(\displaystyle{ \Omega}\) - zbiór wszystkich możliwych wyników rzutu pięcioma kostkami, \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} =6^{5}}\)
A- wyrzucono "jedynkę" (co najmniej jedną); \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=6^{5}-5^{5}}\) (bo dla zdarzenia A' mamy \(\displaystyle{ 5^{5}}\) możliwości takiego wyboru liczby oczek na kostkach, żeby na żadnej nie było jedynki)
B- wyrzucono "dwójkę" (co najmniej jedną); analogicznie \(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}=6^{5}-5^{5}}\)
C- wyrzucono trzy takie same liczby; \(\displaystyle{ \overline{\overline{C}} ={5 \choose 3} \cdot 6^{3}}\) (najpierw na sześć sposobów można wybrać, jaka liczba zostanie wyrzucona potrójnie, potem ze zbioru 5 kości wybieramy te trzy, na których pojawi się ta liczba, a na koniec na \(\displaystyle{ 6^{2}}\) sposobów możemy wybrać liczbę wyrzuconą na pozostałych dwóch kościach)
Interesuje nas \(\displaystyle{ P( A \cup B \cup C )}\). Otóż:
\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A \cap B}} =5 \cdot 4 \cdot 6^{3}}\) (wybieram odpowiednio na 5 i na 4 sposoby te kości, na których będą jedynka i dwójka, na \(\displaystyle{ 6^{3}}\) sposobów wybieram liczby widoczne na pozostałych kościach)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A \cap C}}=6 \cdot 5 \cdot {4 \choose 3}+{5 \choose 3} \cdot 6^{2}}\) (tu albo: wybieram na 5 sposobów kość z jedynką, na \(\displaystyle{ {4 \choose 3}}\) sposoby 3 kości, na których będzie się powtarzać liczba - nie jedynka - i na sześć sposobów liczbę widoczną na pozostałej kości, albo: wybieram na \(\displaystyle{ {5 \choose 3}}\) sposoby trzy kości, na których pojawi się jedynka, a na \(\displaystyle{ 6^{2}}\) sposobów liczby widoczne na pozostałych kościach)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{B \cap C}} =6 \cdot 5 \cdot {4 \choose 3}+{5 \choose 3} \cdot 6^{2}}\) (analogicznie)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A \cap B \cap C}} = 5 \cdot 4 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4}\)
(albo: wybieram na 5 sposobów kość, na której będzie 1, na 4 sposoby kość z dwójką i na 4 sposoby wartość powtarzającą się na 3 pozostałych kościach - nie jedynkę i nie dwójkę - albo: na 5 sposobów wybieram kość z jedynką i przyjmuję, że co najmniej trzy razy powtórzy się dwójka, więc na 6 sposobów wybieram wartość na pozostałej kości i na 4 sposoby wybieram, która to będzie kość, albo: (i tu to samo co przed chwilą, tylko założenie, że trzy razy powtórzy się jedynka, a nie dwójka))
Z tych danych możesz już obliczyć wszystkie potrzebne do wzoru prawdopodobieństwa. Na koniec obliczasz \(\displaystyle{ P((A \cup B \cup C)')}\) jako \(\displaystyle{ 1-P(A \cup B \cup C)}\).