prawdopodobientstwo geometryczne

[doreh]

W kwadrat o boku a wpisano koło. Obliczyc prawdopodobienstwo p tego, że trzy przypadkowo wybrane punkty kwadratu są punktami pola.
w odp.: p=0,48. chciałam porównać stosunek pól, ale mi tak nie wychodzi... czy ktoś wie jak to rozwiązać?

[Crizz]

chciałam porównać stosunek pól

I bardzo dobrze, nie wiem zatem, w czym problem.

Przyjmijmy, że promień koła wynosi \(\displaystyle{ r}\), wtedy jego pole wynosi \(\displaystyle{ \pi r^{2}}\), a pole kwadratu na nim opisanym \(\displaystyle{ (2r)^{2}}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ A_{1},A_{2},A_{3}}\) zdarzenia , w których odpowiednio pierwszy, drugi i trzeci z wybranych punktów kwadratu jest punktem koła. Wówczas \(\displaystyle{ P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})=\frac{\pi r^{2}}{(2r)^{2}}=\frac{\pi}{4}}\),
a \(\displaystyle{ P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3})= P(A_{1})P(A_{2})P(A_{3})}\), bo zdarzenia \(\displaystyle{ A_{1},A_{2},A_{3}}\) są niezależne, czyli:
\(\displaystyle{ P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3})=\left(\frac{\pi}{4}\right)^{3} \approx 0,48}\).