prawdopodobientstwo geometryczne

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
doreh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 7 sie 2009, o 14:55
Płeć: Kobieta
Podziękował: 29 razy

prawdopodobientstwo geometryczne

Post autor: doreh » 27 gru 2009, o 18:05

W kwadrat o boku a wpisano koło. Obliczyc prawdopodobienstwo p tego, że trzy przypadkowo wybrane punkty kwadratu są punktami pola.
w odp.: p=0,48. chciałam porównać stosunek pól, ale mi tak nie wychodzi... czy ktoś wie jak to rozwiązać?

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

prawdopodobientstwo geometryczne

Post autor: Crizz » 27 gru 2009, o 18:39

doreh pisze: chciałam porównać stosunek pól
I bardzo dobrze, nie wiem zatem, w czym problem.

Przyjmijmy, że promień koła wynosi \(\displaystyle{ r}\), wtedy jego pole wynosi \(\displaystyle{ \pi r^{2}}\), a pole kwadratu na nim opisanym \(\displaystyle{ (2r)^{2}}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ A_{1},A_{2},A_{3}}\) zdarzenia , w których odpowiednio pierwszy, drugi i trzeci z wybranych punktów kwadratu jest punktem koła. Wówczas \(\displaystyle{ P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})=\frac{\pi r^{2}}{(2r)^{2}}=\frac{\pi}{4}}\),
a \(\displaystyle{ P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3})= P(A_{1})P(A_{2})P(A_{3})}\), bo zdarzenia \(\displaystyle{ A_{1},A_{2},A_{3}}\) są niezależne, czyli:
\(\displaystyle{ P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3})=\left(\frac{\pi}{4}\right)^{3} \approx 0,48}\).

ODPOWIEDZ