Jezioro i ryby

[robertm19]

Z jeziora wyłowiono 200 ryb oznakowano je i wpuszczono do wody. Po pewnym czasie wyłowiono 100 ryb, a wśród nich było 8 oznakowanych. Za rozsądne oszacowanie liczby ryb w jeziorze można uznać taką liczbę ryb, dla której zrealizowało się zdarzenie o największym prawdopodobieństwie? Jaka to liczba.

Jak rozwiązać coś takiego??

[Bieniol]

Niech:

\(\displaystyle{ a=200}\) - ilość ryb wyłowionych w pierwszym połowie
\(\displaystyle{ b=100}\) - ilość ryb wyłowionych w drugim połowie
\(\displaystyle{ c=8}\) - ilość ryb zaznaczonych wyłowionych w drugim połowie

Szukamy:

\(\displaystyle{ \Theta}\) - ilość ryb w jeziorze.

\(\displaystyle{ q_{\Theta}(c)= \frac{ {a \choose c} \cdot {\Theta-a \choose b-c} }{ {\Theta \choose b}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{q_{\Theta}(c)}{q_{\Theta-1}(c)} = ... = \frac{(\Theta -a)(\Theta-b)}{\Theta(\Theta-a-b+c)}}\)

Wyrażenie to jest równe jedności, gdy:

\(\displaystyle{ (\Theta -a)(\Theta-b)=\Theta(\Theta-a-b+c)}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \Theta= \frac{ab}{c} =2500}\)

[robertm19]

Mógłbyś troche jaśniej? co oznacza q(c)?

[Bieniol]

Skorzystałem tutaj z metody największej warygodności konstrukcji estymatorów punktowych.

Nasze: \(\displaystyle{ q_{\Theta}(c)}\), to prawdopodobieństwo tego, że w drugim połowie wylosujemy 8 oznakowanych ryb i 92 nieoznakowane.

Czemu potem przyrównałem iloczyn \(\displaystyle{ \frac{q_{\Theta}(c)}{q_{\Theta-1}(c)} = 1}\)?

Otóż jeżeli byłoby \(\displaystyle{ >1}\), to mielibyśmy funkcję \(\displaystyle{ q}\) rosnącą ze względu na \(\displaystyle{ \Theta}\). Jeżeli \(\displaystyle{ <1}\), to funkcję malejącą.

Dlatego też nasz estymator wyraża się następująco:

\(\displaystyle{ \Theta= \frac{ab}{c}}\)

[robertm19]

Dzięki