Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień

Post autor: Bartek1991 »

Oblicz prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(A' \cap B')}\), jeśli \(\displaystyle{ P(A') = \frac{1}{3}}\),\(\displaystyle{ P(B')= \frac{1}{4}}\) i \(\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{1}{2}}\).
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień

Post autor: janusz47 »

janusz47 pisze: Zastosuj prawo de Morgana do zdarzeń A i B
\(\displaystyle{ P(A' \cap B' )= P((A \cup B)' )}\).
Awatar użytkownika
Vieshieck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 283
Rejestracja: 19 cze 2007, o 08:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 59 razy

Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień

Post autor: Vieshieck »

\(\displaystyle{ A' \cap B' = (A \cup B)'}\) z praw deMorgana

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2}{3}
P(B)= \frac{3}{4}}\)


Teraz ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy:
\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{11}{12}}\)

Stąd poszukiwana wartość to \(\displaystyle{ 1- \frac{11}{12} = \frac{1}{12}}\)
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień

Post autor: Bartek1991 »

A można było zrobić tak:

Korzystając z zależności P(A) + P(A') = 1 obliczam zdarzenia P(A) i P(B) i zauważam że ich iloczyn jest równy \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) więc zdarzenia A i B są niezależne. Zastanawiam się czy poprawnym jest stwierdzenie, że zdarzenia A' i B' są również niezależne. Wówczas \(\displaystyle{ P(A' \cap B') = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}}\). Wynik niby taki sam tylko czy rozumowanie poprawne?
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień

Post autor: luka52 »

Jeżeli A i B są zdarzeniami niezależnymi to również A' i B' są:
\(\displaystyle{ P(A'B') = P( (A \cup B)' ) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \left( P(A) + P(B) - P(AB) \right) =1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = (1-P(A))(1-P(B)) = P(A')P(B')}\)
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień

Post autor: Bartek1991 »

Czyli, że moje rozwiązanie też jest poprawne?
ODPOWIEDZ