Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień
-
- Użytkownik
- Posty: 529
- Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień
Oblicz prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(A' \cap B')}\), jeśli \(\displaystyle{ P(A') = \frac{1}{3}}\),\(\displaystyle{ P(B')= \frac{1}{4}}\) i \(\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{1}{2}}\).
- Vieshieck
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 19 cze 2007, o 08:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 59 razy
Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień
\(\displaystyle{ A' \cap B' = (A \cup B)'}\) z praw deMorgana
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2}{3}
P(B)= \frac{3}{4}}\)
Teraz ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy:
\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{11}{12}}\)
Stąd poszukiwana wartość to \(\displaystyle{ 1- \frac{11}{12} = \frac{1}{12}}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{2}{3}
P(B)= \frac{3}{4}}\)
Teraz ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy:
\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{11}{12}}\)
Stąd poszukiwana wartość to \(\displaystyle{ 1- \frac{11}{12} = \frac{1}{12}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 529
- Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień
A można było zrobić tak:
Korzystając z zależności P(A) + P(A') = 1 obliczam zdarzenia P(A) i P(B) i zauważam że ich iloczyn jest równy \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) więc zdarzenia A i B są niezależne. Zastanawiam się czy poprawnym jest stwierdzenie, że zdarzenia A' i B' są również niezależne. Wówczas \(\displaystyle{ P(A' \cap B') = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}}\). Wynik niby taki sam tylko czy rozumowanie poprawne?
Korzystając z zależności P(A) + P(A') = 1 obliczam zdarzenia P(A) i P(B) i zauważam że ich iloczyn jest równy \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) więc zdarzenia A i B są niezależne. Zastanawiam się czy poprawnym jest stwierdzenie, że zdarzenia A' i B' są również niezależne. Wówczas \(\displaystyle{ P(A' \cap B') = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}}\). Wynik niby taki sam tylko czy rozumowanie poprawne?
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Prawdopodobieńsywo iloczynu dopełnień
Jeżeli A i B są zdarzeniami niezależnymi to również A' i B' są:
\(\displaystyle{ P(A'B') = P( (A \cup B)' ) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \left( P(A) + P(B) - P(AB) \right) =1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = (1-P(A))(1-P(B)) = P(A')P(B')}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 529
- Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy