Mamy 40 kur - 30 białych i 10 czarnych. Kury zaganiamy do dwóch kurników - do każdego kurnika 20 kur, a następnie z obu kurników wybieramy losowo po jednej kurze. Uzasadnij, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kur o różnych kolorach upierzenia będzie najmniejsze wtedy, gdy do obu kurników zagnamy po piętnaście białych i po pięć czarnych kur.
Niech x oznacza liczbę czarnych kur wrzuconych do kurnika z puli 10
\(\displaystyle{ x \le 10}\)
A- wylosowano kury o innym upierzeniu
\(\displaystyle{ P(A_{1})= \frac{20-x}{ {20 \choose 1} } *\frac{10-x}{ {20 \choose 1} }}\)
\(\displaystyle{ P(A_{2})= \frac{10-x}{ {20 \choose 1} } *\frac{20-x}{ {20 \choose 1} }}\)
\(\displaystyle{ 20-x \Rightarrow}\) Jeśli x oznacza liczbę kur czarnych w danym kurniku to kur białych w kurniku 1 będzie \(\displaystyle{ 20-x}\) ponieważ max ilość kur w kurniku to 20, a kur białych będzie o tyle mniej ile wrzucimy tam czarnych. Aby wylosować jedną taką i jedną taką to z jednego kurnika musimy wylosować białą a z drugiego czarną.
Jeśli więc w 1 kurniku jest \(\displaystyle{ 20-x}\) białych to w drugim kurniku jest \(\displaystyle{ 10-x}\) czarnych, bo owy x kur czarnych jest już w kurniku 1.
Prawdopodobieństwo wylosowania jednej takiej i jednej takiej rozpatrzymy więc jako \(\displaystyle{ \frac{ {20-x \choose 1} {10-x \choose 1} }{\Omega}}\) +\(\displaystyle{ \frac{ {10-x \choose 1} {20-x \choose 1} }{\Omega}}\) Omega jest tu mało istotna bo ją znamy, powinniśmy więc zatem wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji danej wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=400-60x+2x^2}\)
\(\displaystyle{ f(x)=x^2-30x+200}\)
Ma ona miejsca zerowe w 10 i 20 i ramiona skierowane do góry, zatem przyjmuje najmniejszą wartość dla x=15 co nie spełnia założeń.
Gdzie popełniam błąd, bo tok rozumowania jest chyba dobry.
Z góry bardzo dziękuję za pomoc.
Poprawne rozwiązanie
Ukryta treść: