Kule w urnach - prawdopodobieństwo całkowite

szymek · Post autor: **szymek** » 14 gru 2009, o 16:17

W pierwszej urnie jest 6 kul czarnych i 4 białe, a w drugiej urnie 7 czarnych i 8 białych. Losujemy dwie kule bez zwracania z pierwszej urny i dwie kule ze zwracaniem z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie trzech kul białych.

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{ {4 \choose 2} }{ {10 \choose 2} } * \frac{7*8}{225}}\)
Przypadek kiedy z 1 urny wylosujemy 2 białe, wtedy z drugiej losujemy 1 białą i 1 czarną.
\(\displaystyle{ P(B_{1})= \frac{ {4 \choose 1}* {6 \choose 1} }{ {10 \choose 2} } * \frac{8*8}{225}}\)
Przypadek kiedy z 1 urny wylosujemy 1 białą, wtedy z drugiej losujemy 2 białe.

Nie możemy zakładać, że z 1 wylosujemy 2 czarne, bo wtedy już nie ma szans na wylosowanie 3 białych

\(\displaystyle{ P(A)=P(B)+P(B_{1})}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{112}{3375}+ \frac{512}{3375}}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{624}{3375}}\)

P(A) jest prawdopodobieństwem końcowym.

Wynik wychodzi mi inny niż w odp w odp jest 736 w liczniku. Proszę o wyjaśnienie, jaką metodą to robić i dlaczego poprzez kombinacje nie można. Dziękuje

Gotta · Post autor: **Gotta** » 14 gru 2009, o 16:40

zgodnie z Twoimi oznaczeniami:
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{{4\choose 2}}{{10\choose 2}}\cdot \frac{7\cdot 8\cdot 2}{15^2}}\)

szymek · Post autor: **szymek** » 14 gru 2009, o 19:23

A dlaczego jeszcze razy 2?

Gotta · Post autor: **Gotta** » 15 gru 2009, o 10:50

skoro w mianowniku masz \(\displaystyle{ 15^2}\), czyli przyjmujesz, że kolejność kul ma znaczenie, więc z drugiej urny można wylosować za pierwszym razem kulę białą i za drugim czarną lub na odwrót, czyli
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{8\cdot 7+7\cdot 8}{15^2}}\)

SirMyxir · Post autor: **SirMyxir** » 29 gru 2010, o 17:05

\(\displaystyle{ P(B_{1})= \frac{ {4 \choose 1}* {6 \choose 1} }{ {10 \choose 2} } * \frac{8*8}{225}}\)
a dlaczego w pierwszej urnie tutaj nie mnożymy razy 2? 4*6 lub 6*4?

ivanoo · Post autor: **ivanoo** » 30 gru 2010, o 13:17

W przypadku pierwszej urny korzystasz ze wzoru na kombinacje, bo losujesz kule bez zwracania (nie musisz uwzględniać kolejności kul w jednym zdarzeniu, dla przykładu zdarzenie (b2,cz1) jest tym samym co (cz1,b2)).
Jeśli chodzi o drugą urnę, korzystasz ze wzoru na wariacje z powtórzeniami, czyli we wszystkich zdarzeniach, których masz 225 rozróżniasz kolejność wylosowanych kul, dla przykładu (b1,cz2) nie jest tym samym zdarzeniem co (cz2,b1). W mocy zdarzenia musimy pomnożyć razy 2 gdyż to dodaje nam te przypadki w których kolejność wylosowanych kul ma znaczenie, tutaj analogicznie przed pomnożeniem masz tylko zdarzenie (b1,cz2), a po pomnożeniu dodajesz również przypadek (cz2,b1).