rozkład geometryczny

[robin5hood]

Niech \(\displaystyle{ \zeta_1}\) i \(\displaystyle{ \zeta_2}\) są niezależnymi zmienna losowa mającymi rozkład geometryczny
\(\displaystyle{ P (\zeta_i= k )=p_iq_{i}^{k} ; i = 1, 2; k = 0, 1,...; p_i + q_i = 1}\). Udowodnić, że zmienna losowa
\(\displaystyle{ \zeta= min(\zeta_1,\zeta_2 )}\) ma także rozkład geometryczny. Znaleźć parametr tego rozkładu.

[max]

Korzystając z niezależności mamy:
\(\displaystyle{ P_{k}:= P(\text{min}\{\zeta_{1},\zeta_{2} \} \ge k) = P(\{\zeta_{1} \ge k\} \cap \{\zeta_{2}\ge k\}) = P(\zeta_{1}\ge k)P(\zeta_{2}\ge k) =\\
=\left(\sum_{j=k}^{\infty}p_{1}q_{1}^{j}\right)\left(\sum_{j=k}^{\infty}p_{2}q_{2}^{j}\right) = \frac{p_{1}q_{1}^{k}}{1 - q_{1}}\cdot \frac{p_{2}q_{2}^{k}}{1 - q_{2}} = (q_{1}q_{2})^{k}}\)
A stąd:
\(\displaystyle{ P(\text{min}\{\zeta_{1},\zeta_{2} \} = k) = P_{k} - P_{k+1} = (1 - q_{1}q_{2})(q_{1}q_{2})^{k}}\)
czyli \(\displaystyle{ \min\{\zeta_{1},\zeta_{2}\}}\) ma rozkład geometryczny o parametrach \(\displaystyle{ p = 1 - q_{1}q_{2}, \ q = q_{1}q_{2}.}\)

[robin5hood]

czyli o parametrze \(\displaystyle{ p^2}\)?

[max]

Raczej \(\displaystyle{ q^{2},}\) jeśli \(\displaystyle{ q_{1} = q_{2}.}\)