Witam,
proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Wielokąt wypukły ma n wierzchołków, losowo wybieramy dwa z nich. Jakie musi być n, aby prawdopodobieństwo, że wylosowane wierzchołki wyznaczą przekątną wielokąta było równe \(\displaystyle{ \frac{5}{7}}\)?
Wielokąt wypukły
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Wielokąt wypukły
Wszystkich różnych par wierzchołków jest:
\(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\)
Każdy z n wierzchołków można połączyć z pozostałymi (n-1) wierzchołkami. Oczywiście para {a;b} jest tą samą parą co {b;a} dlatego ten iloczyn jest podzielony przez 2 (są to także kombinacje 2-elementowe ze zbioru n-elementowego)
Natomiast par tworzących przekątne jest:
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)
Każdy z n wierzchołków można połączyć z (n-3) wierzchołkami (oprócz wierzchołka n nie mogą być to także dwa sąsiednie wierzchołki). Oczywiście tak jak poprzednio para {a;b} jest tą samą parą co {b;a} dlatego ten iloczyn jest podzielony przez 2.
Teraz oblicz P(A), przyrównaj do wartości podanej w zadaniu i z otrzymanego równania wyznacz n.
\(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\)
Każdy z n wierzchołków można połączyć z pozostałymi (n-1) wierzchołkami. Oczywiście para {a;b} jest tą samą parą co {b;a} dlatego ten iloczyn jest podzielony przez 2 (są to także kombinacje 2-elementowe ze zbioru n-elementowego)
Natomiast par tworzących przekątne jest:
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)
Każdy z n wierzchołków można połączyć z (n-3) wierzchołkami (oprócz wierzchołka n nie mogą być to także dwa sąsiednie wierzchołki). Oczywiście tak jak poprzednio para {a;b} jest tą samą parą co {b;a} dlatego ten iloczyn jest podzielony przez 2.
Teraz oblicz P(A), przyrównaj do wartości podanej w zadaniu i z otrzymanego równania wyznacz n.