Punkt obrony przeciwlotniczej...

[kletek]

Witam,
proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Punkt obrony przeciwlotniczej dysponuje pięcioma rakietami, z których każda naprowadzana jest na cel niezależnie od pozostałych i każda zawsze trafia do celu. W zasięgu obrony przeciwlotniczej pojawiły się trzy nieprzyjacielskie samoloty. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie samoloty zostaną trafione.

Z góry dziękuję za odp.

Szukam korepetytora z matematyki przygotowującego do matury rozszerzonej z matematyki

[Wilkołak]

Zbadajmy najpierw ile jest wszystkich możliwości, każda rakieta może wycelować w dowolny samolot, zatem:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \Omega = 5^3}\)

Teraz zobaczmy na ile sposobów 5 wyrzutni wyceluje we wszystkie 3 samoloty:
Wybieramy 3 z 5 wyrzutni, i każda wystrzelona z niej rakieta ma trafić w jeden samolot, te same trzy rakiety mogą trafić w te same 3 samoloty, ale mogą to zrobić w różnej kolejności. Pozostałe dwie wycelowują w dowolny samolot.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \A = V^3_5 \cdot 3 \cdot 3 = \frac{5!}{(5-3)!} \cdot 3^2}\)

[fecha]

\(\displaystyle{
Zamieszczone rozwiązanie zadania jest błędne - po wykonaniu obliczeń otrzymujemy, że P(A) jest większe od 1.
\(\displaystyle{ }\)}\)

[Wilkołak]

Faktycznie, po pierwsze błąd jest już w samej omedze

\(\displaystyle{ \Omega = 3^5}\)

A druga część się kupy nie trzyma po ponownym przeczytaniu Wiele przyporządkowań rakiet samolotom się powtarza... Na razie nie wiem jak to poprawić.

[R33]

Rozwiązał to już ktoś?

[Errichto]

Liczymy prawd. na zd. przeciwne.
Szansa na to, że 1. samolot nie został trafiony to \(\displaystyle{ (\frac{2}{3})^5}\). Liczymy tu też sytuacje, gdzie wszystkie rakiety poszły w 2. samolot (3. cały), a także all w 3. samolot (2. pozostał cały).
To samo się tyczy prawd. na nietrafienie 2. samolotu, też nietrafienie 3. samolotu.
Jeśli dodamy prawd.-a na nietrafienie dla każdego samolotu, to policzymy sytuacje typu "wszystko w jednego" dwukrotnie (widać?). Czyli należy odjąć prawd. na sytuacje, gdzie wszystko poszło w 1 samolot.
\(\displaystyle{ 3 \cdot ( \frac 23 ) ^5 - 3 \cdot ( \frac 13 )^5}\)
Ostateczny wynik to 1-[wynik wyżej]

[R33]

A moc omegi ile wynosi? I czemu na początku liczymy również sytuacje, że wszystkie rakiety poszły w 1 samolot skoro jest 2/3 (czyli 2 samoloty zostały trafione).

[Errichto]

Kto powiedział, że 2 zostały trafione?
\(\displaystyle{ 2/3}\) to szansa na nie-trafienie wybranego samolotu. Czyli trafienie dowolnego z dwóch pozostałych. Czyli w 5 takich próbach może się zdarzyć, że jeden z 2 pozostałych też pozostanie nietrafiony.
Moc omegi? \(\displaystyle{ 3^5}\)