Obliczyć prawdopodobieństwo

[kletek]

Witam,
proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Spośród liczb 1,2,3,...,2n-1,2n losujemy ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą należy do przedziału (1,2).

Z góry dziękuję za odpowiedź

[Wilkołak]

Może moje rozwiązanie nie jest zbyt eleganckie ale zawsze jest (korzystasz z niego na własną odpowiedzialność, przeanalizuj zanim przepiszesz)
Wypiszmy sobie jakie pary liczb spełniają warunki zadania:

Gdy pierwsza wylosowana liczba to 1 to nie wylosujemy drugiej liczby która spełnia warunek zdania.
Dla 2 też nie istnieje taka liczba:
Dla 3: tylko 2 spełnia.
Zatem mamy takie coś:
1 : pusto (0)
2 : pusto (0)
3 : 2 (1)
4 : 3 (1)
5 : 3,4 (2)
6 : 4,5 (2)
7 : 4,5,6 (3)
8 : 5,6,7 (3)
9 : 5,6,7,8 (4)
10: 6,7,8,9 (4)
11 : 6,7,8,9,10 (5)
12 : 7,8,9,10,11 (5)

Można zauważyć, że dla każdej liczby m (ta wylosowana jako pierwsza) warunki zadania spełnia \(\displaystyle{ \lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor}\) (zaokrąglenie w dół) liczb. Jakby tak zsumować te wszystkie liczby w nawiasach (czyli ilość liczb która dla danej liczby m spełnia warunki zadania) to wychodzi takie coś:
\(\displaystyle{ 0 + 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + ... + (n-1) + (n-1) =}\)
\(\displaystyle{ 2\cdot (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n-1)) = 2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)}\)

Wszystkich możliwych do wylosowania układów liczb jest:\(\displaystyle{ 2n \cdot 2n}\)

Zatem \(\displaystyle{ P = \frac{n(n-1)}{4n^2} = \frac{n-1}{4n}}\)