gęstość zmiennej losowej

[robin5hood]

Znaleźć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ \eta= \zeta^2}\) , gdzie \(\displaystyle{ \zeta}\) jest zmienną losową o dystrybuancie \(\displaystyle{ F(x)}\) i gęstości
\(\displaystyle{ f (x)}\) .

[Emiel Regis]

A jakieś samodzielne próby podjąłeś?

podpowiedź:    

Najpierw zauważmy, że \(\displaystyle{ \eta \ge 0}\), zatem dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) mamy:
\(\displaystyle{ F_{\eta}(t) = P(\zeta^2 \le t) = \ldots}\)

[suwak]

Z definicji, było takich zadań od groma na forum.

[robin5hood]

\(\displaystyle{ F_\eta(x) = P(\eta < x) = P(\zeta^2 < x) = P(-\sqrt{x} <\zeta < \sqrt{x}) =}\)
\(\displaystyle{ = P(\zeta < \sqrt{x}) - P(\zeta < -\sqrt{x}) = F(\sqrt{x}) - F(-\sqrt{x})}\)
ale nie wiem co dalej

[suwak]

A jak z dystrybuanty "robi się" gęstość?

[robin5hood]

pochodna ale nie wiem czego tą pochodna

[suwak]

Nie no cwany jesteś, przepisujesz czyjeś rozwiązanie z innego forum jako swoje
Sorry ale ja już straciłem ochotę do pomocy ...

[robin5hood]

czy pisałem ze to moje? poza tym nie musisz miec ochoty mi pomagac

[max]

Pochodną liczymy z dystrybuanty, czyli:
\(\displaystyle{ f_{\eta}(x) = F'_{\eta}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}F'(\sqrt{x}) + \frac{1}{2\sqrt{x}}F'(-\sqrt{x}) = \frac{f(\sqrt{x}) + f(-\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}}\)
poza zbiorem miary zero.